Tengo problemas para demostrar que este mapa es un mapa cociente, $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ definido por $(x,y)\mapsto (x \cos(y),x\sin(y))$ con $x \neq 0$ . Demostrar que el mapa es sobreyectivo no es difícil, pero estoy atascado con los otros requisitos de los mapas cocientes.
Respuesta
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Esto podría ser útil: Un mapa $f:X\to Y$ se llama pseudo-abierto si para cada $y\in Y$ y todos los barrios abiertos $U$ de $f^{-1}(y)$ El interior int $f(U)$ de la imagen contiene $y$ . Se puede demostrar que las proyecciones abiertas o cerradas son pseudoabiertas y que los mapas pseudoabiertos son mapas cotizados.
Ahora demuestre que $f$ es pseudo-abierto.
Donde $x\neq0$ la función está abierta de todos modos. Demostrar que una pequeña vecindad de base $(x-\epsilon,x+\epsilon)\times(y-\epsilon,y+\epsilon)$ alrededor de $(x,y)$ tiene una imagen que contiene una bola lo suficientemente pequeña $B_\delta(f(x,y))$ . No estoy seguro, pero podrías probar $\delta=$ min $(\epsilon/2,\ x\epsilon/2)$ . Necesitarás el teorema de la suma para el coseno.
Para $0$ la fibra $f^{-1}(0)$ es sólo el $y$ -eje. Demostrar que un conjunto abierto que contiene el $y$ -El eje tiene una imagen abierta utilizando un argumento de compacidad. Pregunta si no sabes cómo.
