Cuando era becario las demostraciones se hacían con equivalencias, pero los razonamientos parecen decir que con usar implicaciones sería suficiente?

Question

Cuando era becario, casi todas las demostraciones que veía se hacían utilizando la equivalencia $\iff$ signos.

Pero llegué a un curso en el que se enseñaba el razonamiento disponible en matemáticas, bien llamado: " la caja de herramientas para las demostraciones ". Y entre ellos, estaban:

• demostración mediante un contraejemplo (para demostrar que $\forall x, P(x)$ es cierto, demostrar que $\exists x, \lnot P(x)$ es falso)
• demostración por contraposición (en lugar de demostrar: $P(x) \implies Q(x)$ , demuestren $\lnot Q(x) \implies \lnot P(x)$ )
• demostración por el absurdo (utilizar el hecho de que la única relación que es falsa, en $P \implies Q$ es cuando $P$ es verdadera mientras que $Q$ es falso, para demostrar que un caso en el que $P(x) \implies Q(x)$ teniendo $P$ Es cierto, $Q$ falso llevaría a un sinsentido)

...
y otros razonamientos.

Las cosas van como si, para demostrar algo, asegurar toda esa equivalencia no fuera obligatorio.
Como si la comprobación de la reciprocidad de una relación no fuera realmente necesaria para completar una demostración.
Equivalencias ( $\iff$ ) ya no sería necesario, y las implicaciones ( $\implies$ ) sería suficiente.

Me siento un poco extraño frente a eso. ¿Puede explicarme por qué estoy viendo esto?

Answer 1

Sería bueno ver esas pruebas que aprendiste antes. Pero supongo que las pruebas a las que te refieres eran pruebas de álgebra booleana (es decir, pruebas en las que tomabas un enunciado y lo transformabas mediante principios como el de DeMorgan o la doble negación en algún otro enunciado). Y sí, toda regla del álgebra booleana es una equivalencia.

Sin embargo, ahora está haciendo inferencia . Y sí, las reglas aquí ya no reflejan las equivalencias. Por ejemplo, una de las reglas de un sistema de inferencia es que el enunciado $P \land Q$ implica la declaración $P$ . Pero ten en cuenta: $P \land Q$ et $P$ no son, por supuesto, equivalentes.

Las reglas de inferencia también pueden aplicarse a los enunciados múltiples. Por ejemplo, $P \to Q$ et $Q \to R$ juntos implican $P \to R$ . Pero en este caso, técnicamente ni siquiera tiene sentido decir que son equivalentes, porque ya no estamos hablando de dos enunciados, sino de tres. Y tampoco es cierto que $P \to R$ implica $P \to Q$ o $Q \to R$ y mucho menos las dos cosas. Así que, de nuevo, no hay ninguna equivalencia. Pero creo que estará de acuerdo en que como inferencia Tiene todo el sentido y es totalmente útil para hacer pruebas.

Además: al hacer inferencias, todavía se puede hacer un buen uso de las equivalencias, por lo que no es cierto que estemos desechando todas esas reglas de equivalencia.