Contradicción - lema ML

Question

Me pareció obtener una contradicción al aplicar el lema de ML a $\int_\gamma \frac{1}{z^2+1} dz$ donde $\gamma: z = t$ et $t$ va de $0$ a $a$ ( $a$ es un número real fijo). La longitud de $\gamma$ es claramente $a$ y en $\gamma$

$$\left| \frac{1}{z^2+1} \right| \leq \frac{1}{|z|^2 -1} \leq \frac{1}{a^2-1} $$

Así,

$$\left| \int_\gamma \frac{1}{z^2+1} dz \right| \leq \frac{a}{a^2-1}$$

Si tomamos $a \to \infty$ en ambos lados, entonces esto es decir

$$\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1} dx =0$$

que sabemos que es falsa (debería ser $\pi/2$ ). ¿Puede alguien indicarme dónde me he equivocado? Muchas gracias.

Answer 1

Desde $\lvert z\rvert\leqslant a$ , $\dfrac1{\lvert z\rvert^2-1}\geqslant\dfrac1{a^2-1}$ .