Forma real compacta del álgebra de Lie Semisimple

Question

Estoy leyendo el libro de B.Hall "Lie groups, Lie algebras, and Representations". Allí puedes encontrar una definición de álgebra de Lie semisimple.

DEF1 :

Un álgebra de Lie compleja $\mathfrak{g}$ es reductor si existe un grupo de Lie matricial compacto K tal que: $$\mathfrak{g} \cong \mathfrak{t}_{\mathbb{C}}. $$ Donde $\mathfrak{t}$ es el álgebra de Lie de K. El álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ es semisimple si es reductora y su centro es trivial.

$\square$

Y la definición para la forma real compacta.

DEF2 :

Una subálgebra real $\mathfrak{t}$ del álgebra de Lie compleja semisimple $\mathfrak{g}$ es un forma real compacta de $\mathfrak{g}$ si:

• $\mathfrak{t}$ isomorfo al álgebra de Lie de algún grupo compacto de Lie.
• Cualquier elemento $Z \in \mathfrak{g}$ puede escribirse de forma única como $Z=X+iY$ con $X,Y \in \mathfrak{t}$

$\square$

La pregunta es, ¿cómo puedo ver que cualquier álgebra de Lie semisimple tiene tal forma real compacta? Por lo que tengo entendido no es cierto que para cualquier $\mathfrak{t}$ elementos de $\mathfrak{t}_{\mathbb{C}}$ puede escribirse de forma única como $X+iY, \ X,Y\in \mathfrak{t}$ . Por ejemplo, si algunos $X$ pertenece a $\mathfrak{t}$ junto con $iX$ entonces $X$ como elemento de $\mathfrak{t}_{\mathbb{C}}$ puede escribirse como $X=X$ o como $X=i(-iX)$ .

Parece que usando la forma de matar, uno puede mostrar que $X$ et $iX$ no puede pertenecer al álgebra del grupo compacto simultáneamente. Esto contradiría el hecho de que para un grupo compacto, la forma de Killing es negativa definida. Sin embargo, ¿existe un método sin utilizarlas?

Answer 1

La definición de Hall de semisimple parece ser precisamente que tiene una forma real compacta así como centro trivial por lo que esto es automático. No demuestra que esto sea idéntico a la definición habitual de semisímil, así que supongo que lo que preguntas es por qué su definición es equivalente a la habitual.

Para abordar sus puntos al final no es cierto que $X$ et $iX$ son ambos en $\mathfrak{t}$ . Se trata de una subálgebra real, por lo que no es cerrada bajo la multiplicación por $i$ En efecto $\mathfrak{g} = \mathfrak{t}^\mathbb{C} = \mathfrak{t} \oplus i\mathfrak{t}$ . Utilizando la forma Killing podemos confirmarlo ya que $\mathfrak{t}$ es negativa definida por lo que $(X,X) \leq 0$ et $(iX,iX) = -(X,X) \geq 0$ así que $iX$ no puede estar en $\mathfrak{t}$ .

Para demostrar que cualquier álgebra de Lie semisimple (a partir de la definición habitual) admite una forma real compacta podemos proceder como sigue. Tomemos una forma real cualquiera $\mathfrak{g}_0 \leq \mathfrak{g}$ y elegir una descomposición de Cartan: $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus\mathfrak{p}_0$ es decir $\mathfrak{k}_0$ es una subálgebra compacta máxima y $\mathfrak{p}_0$ es su ortocomplemento. Entonces $\mathfrak{u}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus i\mathfrak{p}_0$ es una forma real compacta de $\mathfrak{g}$ . Obviamente hay que ver que siempre podemos encontrar al menos una forma real y que tal cosa admite una descomposición de Cartan pero esto no es muy difícil.