Unicidad de los coeficientes del oscilador armónico

Question

Oscilador armónico. Reescritura $$\frac{d\theta}{dt}=\omega+A\cos\theta +B\sin\theta, A,B \in \mathbb R$$ como $$\frac{d\theta}{dt}=\omega+r\cos(\theta + \alpha), r>0, \alpha \in [-\pi,\pi) \in \mathbb R.$$ Demuestre que el único $A,B$ Definir como único $r,\theta.$

Tengo la sensación de que tenemos que usar $\cos(\theta + \alpha) = \cos\theta \cos\alpha - \sin\theta \sin\alpha$ pero no sé cómo aplicarlo.

Answer 1

Sí, puede utilizar esa fórmula. Tenga en cuenta que al dejar $A=r\cos(\alpha)$ et $B=-r\sin(\alpha)$ tenemos que $$r:=\sqrt{A^2+B^2}.$$ Entonces hay un único punto a lo largo del círculo unitario $(A/r,-B/r)$ tal que $$\begin{cases}\cos(\alpha)=\frac{A}{r}\\ \sin(\alpha)=-\frac{B}{r}\end{cases}$$ con $\alpha \in [-\pi,\pi)$ .