relación de adición

Question

Supongamos que tengo conjuntos simpliciales $X:\Delta^{op}\rightarrow Set$ y $Y:\Delta^{op}\rightarrow Set$ , entonces puedo formar el conjunto simplicial $\operatorname{Hom}(X,Y)_n := \operatorname{Hom}_{sSet}(\Delta^n\times X,Y)$ donde $\Delta^n := \operatorname{Hom}_{\Delta}(\cdot,[n])$ . Entonces tengo la "relación de adjunción":

$\operatorname{Hom}(Z,\operatorname{Hom}(X,Y)) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y)$

¿Puedo hacer lo mismo para los espacios topológicos simpliciales $X,Y:\Delta^{op}\rightarrow \operatorname{Top}$ ? ¿Existen referencias al respecto o es trivialmente lo mismo? ¿Qué sería $\Delta^n$ y qué topologías toma en el $\operatorname{Hom}(X,Y)_n$ ? En particular, me gustaría tener la misma relación de adjunción: $\operatorname{Hom}(Z,\operatorname{Hom}(X,Y)) \simeq \operatorname{Hom}(Z\times X,Y)$ pero no puedo averiguar los detalles de cómo construir el espacio topológico simplicial $\operatorname{Hom}(X,Y)$ .

Answer 1

Aquí hay algunas tonterías generales que harán lo que quieres. Supongamos que $\mathcal{C}$ es una categoría cartesiana cerrada localmente pequeña con límites y colímites para todos los diagramas pequeños (así, por ejemplo, $\textbf{CGHaus}$ o $\textbf{Set}$ ) y supongamos $\mathcal{D}$ es una categoría pequeña. Entonces la categoría del functor $[\mathcal{D}, \mathcal{C}]$ será una categoría cartesiana-cerrada con límites y colímites para todos los diagramas pequeños también. La segunda parte es un hecho estándar, así que sólo explicaré por qué $[\mathcal{D}, \mathcal{C}]$ es cartesiano-cerrado.

Dejemos que $Y$ y $Z$ sean objetos en $[\mathcal{D}, \mathcal{C}]$ es decir, los funtores $\mathcal{D} \to \mathcal{C}$ . Definimos un nuevo objeto $Z^Y$ utilizando la siguiente fórmula: $$Z^Y (t) = \int_{d : \mathcal{D}} {Z (d)}^{\mathcal{D}(t, d) \otimes Y (d)}$$ La notación integral se refiere a finaliza y $\otimes$ se define por la adjunción siguiente: $$\mathcal{C}(A \otimes C', C) \cong \textbf{Set}(A, \mathcal{C}(C', C))$$ El conjunto de transformaciones naturales también puede ser calculado por un extremo: $$[\mathcal{D}, \mathcal{C}](X, W) \cong \int_{t : \mathcal{D}} \mathcal{C} (X (t), W (t))$$ Además, $\mathcal{C}(C, -)$ preserva los extremos, por lo que tenemos $$[\mathcal{D}, \mathcal{C}] \left( X, Z^Y \right) \cong \int_{t : \mathcal{D}} \int_{d : \mathcal{D}} \mathcal{C} \left( X (t), {Z (d)}^{\mathcal{D}(t, d) \otimes Y (d)} \right)$$ y por la definición de objetos exponenciales en $\mathcal{C}$ , $$[\mathcal{D}, \mathcal{C}] \left( X, Z^Y \right) \cong \int_{t : \mathcal{D}} \int_{d : \mathcal{D}} \mathcal{C} \left( X (t) \times (\mathcal{D}(t, d) \otimes Y (d)), Z (d) \right)$$ y como $C \times (-) : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ tiene un adjunto derecho, preserva $\otimes$ es decir $$X (t) \times (\mathcal{D}(t, d) \otimes Y (d)) \cong \mathcal{D}(d, t) \otimes (X (t) \times Y (d))$$ y así, utilizando la definición de $\otimes$ obtenemos $$\begin{align} [\mathcal{D}, \mathcal{C}] \left( X, Z^Y \right) & \cong \int_{t : \mathcal{D}} \int_{d : \mathcal{D}} \textbf{Set} \left( \mathcal{D}(t, d), \mathcal{C} \left( X (t) \times Y (d), Z (d) \right) \right) \\ & \cong \int_{d : \mathcal{D}} \int_{t : \mathcal{D}} \textbf{Set} \left( \mathcal{D}(t, d), \mathcal{C} \left( X (t) \times Y (d), Z (d) \right) \right) \end{align}$$ donde el segundo isomorfismo es el teorema de intercambio para los extremos; pero la versión de los extremos del lema de Yoneda dice $$\int_{t : \mathcal{D}} \textbf{Set} \left( \mathcal{D}(t, d), F t \right) \cong F d$$ para cualquier functor $F : \mathcal{D}^\textrm{op} \to \textbf{Set}$ Por lo tanto, $$[\mathcal{D}, \mathcal{C}] \left( X, Z^Y \right) \cong \int_{d : \mathcal{D}} \mathcal{C} \left( X (d) \times Y (d), Z (d) \right) \cong [\mathcal{D}, \mathcal{C}] (X \times Y, Z)$$ y este isomorfismo es natural en $X$ , $Y$ y $Z$ .