Encontrar la velocidad de $1$ -D Flujo constante de dos fluidos

Question

En ausencia de tensión superficial, dos fluidos viscosos incompresibles se conectan entre un par de placas planas paralelas $y = -h$ y $y = h$ . La región $-h<y<0$ está ocupada por un fluido de densidad $\rho_1$ y la viscosidad $\mu_1$ . La región $0<y<h$ está ocupada por un fluido de densidad $\rho_2$ y la viscosidad $\mu_2$ . Se establece un flujo constante y completamente desarrollado con la placa inferior $(y = -h)$ fijo y la placa superior $(y = h)$ moviéndose con una velocidad constante $U_0$ paralelo al el eje x. Demostrar que la distribución de velocidades en los dos fluidos es: $$\boldsymbol{u} = u(y)\underline{\hat\imath}\quad\text{where}\quad u(y) =\left\{ \begin{array}{11} \frac{\mu_2}{(\mu_1 + \mu_2)}U_0(1+\frac{y}{h})\quad-h\le y\le0\quad(1)\\ \frac{\mu_1}{(\mu_1 + \mu_2)}U_0(\frac{\mu_2}{\mu_1}+\frac{y}{h})\quad\,\,\,\,0\le y\le h\quad(2)\\ \end{array} \right.$$

Escribo el problema: $$\boldsymbol{u} = u(y)\underline{\hat\imath} =\left\{ \begin{array}{11} u_2(y)\underline{\hat\imath}\quad\,\,\,\,\,\,\,0\le y\le h\quad(1)\\ u_2(y)\underline{\hat\imath}\quad-h\le y\le 0\quad(1)\\ \end{array} \right.$$ Tengo las condiciones de contorno: $$y=-h,\quad u=0\\ y=h,\quad u=U_0$$ No se me da un gradiente de presión por lo que asumo $p=p_0$ . Compruebo que la continuidad se mantiene: $$\nabla\cdot\boldsymbol{u} = \frac{\partial u}{\partial x} = 0.$$ A continuación, utilizo las ecuaciones N-S: $$\frac{\partial u}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \boldsymbol{X} + \nu\nabla^2u$$ La fuerza del cuerpo $\boldsymbol{X}=0$ y $\frac{\partial u}{\partial t}=0$ porque el flujo es constante. Esto entonces se reduce a: $$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$ Aquí, ambos $\frac{\partial u}{\partial x}$ y $v$ son $0$ por lo que el LHS $=0$ . Y creo que la presión es $p=p_0$ así que eso hace que $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$ que se va: $$\frac{\mu_2}{\rho_2}\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} = 0,\quad\frac{\mu_1}{\rho_1}\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} = 0$$

Answer 1

Para un flujo unidireccional, constante y completamente desarrollado, la componente de la velocidad $u$ no depende de $x$ y $v=0$ . El flujo es impulsado por el movimiento de la placa superior, por lo que se puede suponer que la presión es constante. En este caso, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a

$$\frac{\partial^2u_1}{\partial y^2} = 0, \,\,\,\frac{\partial^2u_2}{\partial y^2} = 0$$

donde $u = u_1$ para $-h \leqslant y \leqslant 0$ y $u = u_2$ para $0 \leqslant y \leqslant h$ . Integrando dos veces obtenemos,

$$u_1 = Ay +B, \,\,\, u_2 = Cy +D.$$

Las condiciones naturales de contorno se utilizan para determinar las constantes $A,\, B,\, C,\, D$ .

Exigimos que no haya deslizamiento en las superficies sólidas

$$\tag{1}u_1(-h) = 0,$$ $$\tag{2}u_2(h) = U_0,$$

y la continuidad de la velocidad y la tensión en la interfaz:

$$\tag{3}u_1(0) = u_2(0), $$ $$\tag{4}\mu_1 \left.\frac{\partial u_1}{\partial y}\right|_{y=0} = \mu_2 \left.\frac{\partial u_2}{\partial y}\right|_{y=0}$$

Aplicando estas condiciones obtenemos

$$\qquad \,\,\,\,\,\,(1) \implies -Ah + B = 0\\ \qquad \,\,\,\,\,\,(2) \implies Ch + D = U_0 \\ (3) \implies B = D \\ \quad \,\,\,\,\,(4) \implies \mu_1A = \mu_2 C$$

De (1) y (3) obtenemos $D = B = Ah$ y de (4) obtenemos $C = \mu_1A/\mu_2$ lo que lleva a

$$u_1 = Ay + Ah =Ah\left(1 + \frac{y}{h}\right), \\ u_2 = \frac{A\mu_1}{\mu_2}y + Ah =\frac{\mu_1}{\mu_2}Ah\left( \frac{\mu_2}{\mu_1} + \frac{y}{h}\right) $$

De (4) obtenemos $U_0 = Ch +D = (\mu_1/\mu_2)Ah +Ah = Ah(1 + \mu_1/\mu_2)$ lo que lleva a

$$Ah = \frac{\mu_2 U_0}{\mu_1 + \mu_2},$$

y

$$u_1 = \frac{\mu_2 U_0}{\mu_1 + \mu_2}\left(1 + \frac{y}{h}\right), \\ u_2 = \frac{\mu_1 U_0}{\mu_1 + \mu_2}\left( \frac{\mu_2}{\mu_1} + \frac{y}{h}\right)$$

(Al principio, una pista de que los términos inerciales y el gradiente de presión son despreciables es la ausencia de las densidades $\rho_1$ y $\rho_2$ en la respuesta que se le da).