¿Por qué la amplitud de la confianza es menor cuando las proporciones de la muestra son más pequeñas?

Question

Estoy utilizando una distribución binomial para calcular intervalos de confianza en torno a una proporción.

Me he dado cuenta de que, para un tamaño de muestra fijo, la anchura entre los intervalos de confianza se reduce a medida que disminuye la proporción (esto también es cierto si se utiliza una distribución normal).

Alguien me ha preguntado por qué, si la proporción es menor, necesitamos menos muestras para tener el mismo grado de confianza. Puedo ver las matemáticas de por qué el IC se reduce, pero me cuesta pensar en una buena explicación.

Answer 1

Yo diría que el intervalo se reduce a medida que el parámetro de éxito se aleja de 0,5 porque se tiene más información sobre el proceso.

Piensa en tu capacidad para predecir el próximo lanzamiento de una moneda. Si la moneda es justa, estás en la peor situación posible: cualquiera de las dos conjeturas tiene el mismo valor o precisión (a la larga de tener varios lanzamientos para predecir).

Pero si la moneda está sesgada en una u otra dirección se puede predecir mejor su resultado. Y a medida que la probabilidad de éxito se aproxima a 0 o 1 empiezas a tener una alta precisión en tus predicciones. Así que vemos que la cantidad de incertidumbre en el proceso es máxima en la probabilidad de éxito de 0,5, pero se reduce cada vez más a medida que nos alejamos de ese punto.

Answer 2

Los comentarios anteriores son correctos - ya que la varianza de una distribución Binomial con parámetros $n$ y $p$ es $np(1-p)$ , con un fijo $n$ , como $p$ se aleja de 0,5, la varianza se reduce. Con mis alumnos, mostré un gráfico de $p(1-p)$ y demostró que es mayor en $p=0.5$ y se hace más pequeño en el resto.

Una explicación que me pareció mucho más intuitiva fue que, si los intervalos de confianza eran tan amplios cuando $p$ estaba cerca de 0 o 1 como cuando $p\approx 0.5$ entonces su intervalo a menudo sería inferior a 0 o superior a 1. No queremos eso, así que el intervalo se ajusta cuanto más nos acercamos a los límites de $[0,1]$ . (Hay algunos casos marginales en los que se puede terminar con un intervalo de confianza que se extiende más allá del $[0,1]$ pero no son muy comunes y la explicación de reducir el intervalo de confianza para que encaje mejor dentro de [0,1] es algo que la mayoría de la gente puede entender).