$x$ tal que $\sqrt{x^y} > \sqrt{(x y)^2}$

Question

Dejemos que $y>1$ , $x>0$

De qué forma son los números $x$ tal que: $$\sqrt{x^y} > \sqrt{(x y)^2}$$

Es decir, cuál es la solución para $x$ ?

EDITAR:

Como la primera respuesta implicaba:

$$\sqrt{x^y} > \sqrt{(x y)^2} \implies \log(\sqrt{x^y}) > \log(\sqrt{(x y)^2})\implies$$ $$\log(x^y) > \log((x y)^2) \implies y \log(x)>2 \log(x y) \implies y \log(x)> (\log(x)+\log(y))$$ $$\implies (y-2) \log(x)>2 \log(y)$$

Answer 1

Para dar un sentido adecuado a $\sqrt{x^y}$ Supongamos que $x \ge 0$ . Usando eso $\log, \exp$ y $\sqrt\cdot$ son estrictamente crecientes en su dominio, obtenemos:

\begin{align} \sqrt{x^y} > \sqrt{(xy)^2} &\iff x^y > (xy)^2 \\ &\iff y \log x > 2(\log x +\log y)\\ &\iff (y-2)\log x > 2 \log y\\ &\iff \log x > \frac{2 \log y}{y-2} \quad\text{if $y \ne 2$}\\ &\iff x > y^{2/(y-2)} \end{align}

Porque la desigualdad en el paso $3$ no es válida para $y = 2$ Podemos descartar esta posibilidad de nuestra solución final.

Answer 2

Obviamente x tiene que ser positivo. ahora toma los logaritmos de ambos lados, la desigualdad que obtienes es equivalente, por lo que tienes $1/2y \log(x) > \log(x) + \log(y)$ , ahora resuelve para $\log(x)$ y ya está.

oh, lo siento, en realidad si permites que y sea un número natural par entonces la desigualdad sigue teniendo sentido incluso para x negativas, pero sigue siendo más o menos lo mismo, porque entonces es lo mismo para x que para -x así que haciéndolo por mi método puedes encontrar soluciones con la suposición $x > 0$ . entonces simplemente se toma el conjunto de estas soluciones y también se añaden todos sus negativos - así que en este caso x es una solución si -x es una solución

pero es posible que quiera aclarar la pregunta porque en general no definimos $x^y$ para $x <0$ es más bien una cuestión filosófica