Integración: $\frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{10}x(\pi-x) \mathrm{d}x$ ¿Alguien puede hacer un matlab/mathematica/maple por mí?

Question

Quiero calcular $\frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{10}x(\pi-x) \mathrm{d}x$ , donde $n=1,2,3,4,\dots$

Trabajé esto a mano y obtuve el resultado: $-\frac{4\cos(nx)}{10n^3\pi}$

Para comprobar mi respuesta la puse en wolfram alpha: ici y obtuve el resultado $-\frac{2\cos(\pi n) - 2}{5\pi n^3}$ (más el $\sin$ lo que no entiende es $0$ ya que no sabe $n=1,2,3,4\dots$

¿Dónde $\frac{2}{5\pi n^3}$ ¿de dónde viene? Esto no puede ocurrir con la integración por partes para $\cos \sin$ términos? ¿Es correcto mi cálculo manual?

Tal vez fue cuando tuve $(-1)^{n+1} \frac{\pi^2}{n} + (-1)^n \frac{\pi^2}{n}$ y cancelado?

Answer 1

Hagamos la integral. Voy a tirar algunas de las constantes. Tenemos

$$ \int_0^\pi \sin(nx)x(\pi - x) \mathrm dx = \pi\int_0^\pi \sin(nx)x\mathrm dx - \int_0^\pi \sin(nx)x^2\mathrm dx.$$

Cada término aquí es una integración clásica por partes, y haciendo esto se obtiene la antiderivada general

$$ \frac{n^2x(x-\pi) - 2)\cos(nx) + n(\pi - 2x)\sin(nx)}{5\pi n^3} + C.$$

(No estoy asumiendo que $n$ es un número entero, ya que no es necesario aquí). Esto se parece al término que dices tener. Cuando metes $\pi$ y restar el valor de $0$ obtienes exactamente lo que Wolfram Alpha te dijo.

Parece probable que hayas olvidado que $\cos(0\cdot n) = 1$ independientemente de lo que $n$ por lo que podría "parecer" una constante no ligada a ninguna trigonometría, pero en realidad es el coeficiente del término $\dfrac{2n^2\cos(n\cdot0)}{5\pi n^3}$ .