Así que estoy en la búsqueda de entender la teoría de campo clásica por mi cuenta, y estoy interesado en su construcción rigurosa. Aquí está el enlace de un post mío anterior en mathoverflow. Las interesantes discusiones allí me llevaron a este nuevo post aquí, en el que utilizaré algunas de las notaciones que usé allí.
Notación: Si ${\bf{x}} = (x_{1},...,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$ y $f=f({\bf{x}})$ es de valor real y diferenciable, denotaré: $$\frac{\partial f}{\partial \bf{x}} := \bigg{(}\frac{\partial f}{\partial x_{1}},...,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\bigg{)} \equiv \nabla f.$$
Esta notación es útil ya que, si $f$ es una función de más de una variable, por ejemplo $f=f(\bf{x},\bf{y},\bf{z})$ entonces $\partial f/{\partial \bf{x}}$ significa el gradiente con respecto al $\bf{x}$ variable.
Transformadas de Legendre para funciones de muchas variables
Aquí, estoy siguiendo Arnold . Sea $f: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ sea una función dos veces diferenciable tal que su hessiano $\nabla^{2}f$ es positivo-definido (por lo que $f$ es estrictamente convexo). Sea $G=G({\bf{p}},{\bf{x}}) := \langle {\bf{p}},{\bf{x}}\rangle - f({\bf{x}})$ , donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es el producto interno habitual en $\mathbb{R}^{n}$ . Entonces, la transformada de Legendre de $f$ se define como la función $g=g({\bf{p}}) := \max_{{\bf{x}}}G({\bf{p}},{\bf{x}})$ . Observe que $G$ alcanza su máximo si $\frac{\partial G}{\partial \bf{x}} = 0$ para que el vector $\bf{x}$ que maximiza $G$ para un fijo $\bf{p}$ es la solución de: \begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial \bf{x}} = \bf{p} \tag{1}\label{1} \end{eqnarray}
Dejemos que $L=L(t,{\bf{x}},\dot{{\bf{x}}})$ sea un lagragiano en el espacio de fases estudiado en la mecánica clásica. Dado que el hamiltoniano $H=H(t,{\bf{x}},{\bf{p}})$ es la transformada de Legendre de $L$ , ecuación ( \ref {1}) se convierte en: \begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \dot{{\bf{x}}}} = {\bf{p}} \tag{2}\label{2} \end{eqnarray} que es una de las ecuaciones de Hamilton que suelen aparecer en los libros de texto.
Teoría clásica de campos
Como he comentado en mi pregunta anterior, el lagrangiano y el hamiltoniano se convierten ahora en funciones de campos, que son vectores de dimensión infinita indexados por coordenadas espacio-temporales $(t,{\bf{x}})\in \mathbb{R}^{4}$ . Denotemos $\mathcal{F}$ el espacio de los campos, que suponemos suficientemente suave y regular en el infinito para que las integrales siguientes sean siempre finitas.
En los libros de texto, el hamiltoniano de una teoría de campos clásica viene dado por: \begin{eqnarray} H(t, \phi, \partial_{{\bf{x}}}\phi,\pi) := \int \pi(t,{\bf{x}})\dot{\phi}(t,{\bf{x}})d{\bf{x}} - L(t, \phi, \partial_{\mu}\phi) \tag{3}\label{3} \end{eqnarray}
Pregunta 1: ¿Cómo se define la transformada de Legendre en dicho espacio infinito de forma que el hamiltoniano se convierta en ( \ref {3})?
Pregunta 2: Una vez contestada la pregunta 1 y definido el hamiltoniano en este espacio de dimensión infinita, debería existir una identidad similar a ( \ref {2}) para que la fórmula habitual: \begin{eqnarray} \pi(t,{\bf{x}}) = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\phi}(t,{\bf{x}})} \tag{4}\label{4} \end{eqnarray} sostiene. ¿Cuál es el significado de la derivada en el lado derecho de ( \ref {4})? Estoy asumiendo que el espacio de los campos $\mathcal{F}$ es un espacio de Banach (en realidad, probablemente un espacio de producto interno) de modo que la derivada anterior es de Fréchet?
ADD: Como he subrayado antes, en la mecánica clásica se puede definir el hamiltoniano como \begin{eqnarray} H(t,{\bf{p}},{\bf{x}}) = \langle {\bf{p}}, \dot{{\bf{x}}}\rangle - L(t,{\bf{x}},\dot{{\bf{x}}}) \tag{5}\label{5} \end{eqnarray} donde, en ( \ref {5}) se entiende que $\dot{{\bf{x}}}$ debe considerarse en función de ${\bf{p}}$ mediante la solución de ( \ref {2}). Así, en la teoría de campo clásica, podemos definir el hamiltoniano siguiendo la misma receta, fijando: \begin{eqnarray} H(t,\phi, \partial_{{\bf{x}}}\phi, \pi) := \int \pi(t,{\bf{x}})\dot{\phi}(t,{\bf{x}})d{\bf{x}} - L(t, \phi, \partial_{\mu}\phi). \tag{6}\label{6} \end{eqnarray}
Sin embargo, en la mecánica clásica, el hamiltoniano ( \ref {5}) es la transformada de Legendre de $L$ y ( \ref {2}) se deduce de forma natural. Así pues, el objetivo de mi pregunta es comprobar si el caso de dimensión infinita también puede definirse mediante una transformada de Legendre apropiada de dimensión infinita análoga al caso de dimensión finita, de modo que la variable conjugada $\pi$ como se define en ( \ref {4}) se deriva naturalmente de la maximalidad de esta transformada de Legendre, como ocurre en el caso de las dimensiones finitas.
