$d(a,X) = 0 \iff X\cap U\neq \emptyset$ (la distancia del conjunto es igual a 0 si es un punto adherente)

Question

Tengo que demostrarlo:

$$d(a,X) = 0 \iff X\cap U \neq \emptyset$$ para todo conjunto abierto $U$ que contiene $a$

Mi idea es que si $d(a,X) = 0$ , entonces hay un punto $b\in X$ tal que $d(a,b)=0$ . De alguna manera, debería ser capaz de construir una bola que contenga $a$ y $b$ . Recuerde que $b\in X$ por lo que la intersección no debería estar vacía.

¿Alguna idea sobre cómo rellenar el hueco que he dejado en mi prueba?

Answer 1

" $\Rightarrow$ " Supongamos que $d(a,X)=0$ entonces para cualquier $\epsilon>0$ existe $b_\epsilon\in X$ tal que $d(a,b_\epsilon)<\epsilon$ . Sea $B(a,\epsilon)$ denotan la bola abierta centrada en $a$ con radio $\epsilon$ entonces $B(a,\epsilon)\cap X\neq \emptyset$ . Como $\epsilon>0$ es arbitraria, concluimos que toda bola abierta centrada en $a$ se cruza con $X$ . De este modo se demuestra esta dirección.

" $\Leftarrow$ ": Supongamos que $X\cap U\neq\emptyset$ para todo conjunto abierto que contenga $a$ . A continuación, consideramos dos casos:

• Si $a\in X$ Entonces no hay nada que demostrar.
• Si $a\notin X$ , tenga en cuenta que para cada $\epsilon>0$ tenemos $X\cap (B(a,\epsilon)\setminus\{a\})\neq\emptyset$ por lo que existe $b_\epsilon\in X\cap(B(a,\epsilon)\setminus\{a\})$ En particular $d(a,b_\epsilon)<\epsilon$ . Dejando que $\epsilon\to 0$ La afirmación es la siguiente.

Answer 2

Utilizo la siguiente equivalencia: $a$ pertenece a $\operatorname{Cl} X$ si para todos los nbd's $N$ de $a$ , $N\cap X\not=\varnothing$

Desde $0=d(a,X)=\inf\{d(a,x):x\in X\}$ podemos elegir $x_n$ en $X$ tal que $d(a,x_n)<n^{-1}$ para todos $n$ . Por lo tanto, hay una secuencia $\{x_n\}\subset X$ tal que $x_n \to a$ Es decir, $a$ pertenece al cierre de $X$ .

Por el contrario, si $a$ pertenece a $\operatorname{Cl} X$ podemos encontrar una secuencia $\{x_n\}$ de elementos en $X$ tal que $x_n\to a$ (sólo se consideran los nbd's $\{B(a,n^{-1})\}$ y usar eso $B(a,n^{-1})\cap X\not= \varnothing$ ) y esto implica $d(a,X)=0$ .