Fucción cuyo gradiente es de norma constante en sus conjuntos de nivel

Question

Tengo una función $f:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ y sé que en su nivel establece $f^{-1}(z)$ la norma de su gradiente es constante. ¿Qué puedo decir de esta función? $$ ||\nabla_x f(x)|| = \text{const} \qquad \qquad \forall x \in f^{-1}(z) := \left\{x \in \mathbb{R}^N \, :\, f(x) = z\right\} \qquad \forall \in \mathbb{R} $$

Las preguntas relacionadas son este y este . Sin embargo, consideran que la norma del gradiente es constante para cada $x$ en el dominio. Sé que esto es cierto sólo en cada conjunto de niveles.

Answer 1

Si $f$ es $C^{1}$ entonces como la norma del gradiente es constante en los niveles de $f$ existe una función continua de valor real $\lambda$ de una variable que satisface $$ \|\nabla f(x)\| = \lambda\bigl(f(x)\bigr)\qquad\text{for all $ x $.} $$ Si $f$ no tiene puntos críticos, entonces $\lambda > 0$ . Sea $\Lambda$ sea una antiderivada para $1/\lambda$ y que $g = \Lambda \circ f$ . Por la regla de la cadena, $$ \|(\nabla g)(x)\| = \bigl|\Lambda'\bigl(f(x)\bigr)\bigr| \cdot \|\nabla f(x)\| = 1. $$ Por la solución de la pregunta vinculada, $g$ es afín. En consecuencia, $f$ es constante en los hiperplanos, por lo que es efectivamente una función de una variable.

Si $f$ tiene puntos críticos, puede pasar más. Por ejemplo, $f$ podría ser una función de distancia al cuadrado de un subespacio afín (un punto hasta un hiperplano).

[Reflexiones: De antemano no tengo una prueba de ello, pero en la línea del comentario de Chris esto es lo que uno espera; me inclinaría a comprobar si los niveles regulares de $f$ tienen curvaturas principales constantes].