Demostración de que para cualquier $a>1$ , $a^n > 1 +na$ para un tamaño suficientemente grande $n$

Question

Estoy buscando una prueba elemental (preferiblemente sin usar nada más avanzado que las propiedades de campo ordenado de $\mathbb R$ ) que para cualquier $a>1$ , $a^n > 1+na$ para un número natural suficientemente grande $n$ . Obviamente se puede demostrar esto usando la serie de Taylor para $a^x$ o por la regla de l'Hospital, u otras técnicas, pero espero algo que no utilice más que la idea básica de $a^n$ como la multiplicación repetida. Creo que debe haber una prueba de inducción sencilla, pero de momento se me escapa.

Answer 1

Por el Teorema Binomial $a^{n} =((a-1)+1)^{n} > 1+\frac {n(n-1)} 2 (a-1)^{2}$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $\frac {n(n-1)} 2 (a-1)^{2} >na$ para $n$ suficientemente grande. Tome $n >1+\frac {2a} {(a-1)^{2}}$