¿Puede considerarse la ecuación de conservación de la energía como una ecuación del movimiento?

Question

Después de todo, la ecuación de conservación de la energía es una ecuación diferencial que se puede resolver para encontrar el movimiento, pero esto nunca se hace. Siempre se considera una ecuación de movimiento sólo el derivada del tiempo de la ecuación de conservación de la energía. ¿Por qué? ¿Es más simple? Consideremos por ejemplo el sistema muelle-masa. Puedo escribir $$E= \frac{1}{2} m [x'(t)]^2 + \frac{1}{2} k [ x(t) - \bar{X}]^2 $$ Se trata de una ecuación diferencial que se resuelve mediante $$ x(t) = \bar{X} + \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin \left( \sin^{-1} \left( (x_0 - \bar{X}) \sqrt{\frac{k}{2E}} \right) +\sqrt{\frac{k}{m}} t \right) $$ No tenemos la posición en función de $x_0$ y $v_0$ pero en función de $x_0$ y $E$ es lo mismo.

Siendo más general, considere $E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + U$ . Si hago la derivada del tiempo, si $\dot{x} \neq 0$ y explotando $F=-\frac{dU}{dx}$ Puedo escribir $m \ddot{x} = F$ . También se puede hacer lo contrario: el $m \ddot{x} = F$ se puede escribir $m \frac{dv}{dt} + \frac{dU}{dx} = 0$ . Integrando tenemos $m\int v dv + U =$ constante: llamada $E$ la constante y el trabajo está hecho. ¿Son la ecuación de conservación de la energía y la ecuación del movimiento sustancialmente equivalentes o hay alguna razón para no utilizar la ecuación de conservación como ecuación del movimiento?

Answer 1

Sí, las ecuaciones de conservación de la energía y la segunda ley de Newton pueden resolverse esencialmente para obtener las ecuaciones de movimiento de los sistemas en los que las fuerzas implicadas son todas fuerzas conservativas. (Un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de fricción.

Como has comprobado, puedes reescribir las ecuaciones del movimiento en términos de una variedad de términos de condiciones iniciales diferentes, y para cualquier problema particular se suele hacer de manera que las ecuaciones parezcan las más "intuitivas" - lo que varía de un problema a otro, y honestamente de una persona a otra. En cuanto a qué ecuación es más fácil de resolver para obtener la ecuación de movimiento, también varía de un problema a otro.

Answer 2

La conservación de la energía sólo puede utilizarse para resolver el movimiento de una partícula en una dimensión espacial. Si se tienen más dimensiones espaciales, saber $\tfrac{1}{2} m v^2$ no indica necesariamente la dirección de $\vec{v}$ . En el problema de Kepler, hay que utilizar otras simetrías para resolverlo. Primero se restringe a un plano 2D, y luego se utiliza la conservación del momento angular para determinar $\vec{v}$ . Así, para el problema de Kepler (movimiento orbital elíptico) sólo pudimos resolver el movimiento de esta manera porque teníamos tantas cantidades conservadas (energía y momento angular) como dimensiones. Otra forma de decir esto es que el problema de Kepler es "integrable", es decir, tiene suficientes cantidades conservadas para resolver el movimiento fácilmente. En 1D, todo es integrable. Sin embargo, para dimensiones mayores y potenciales arbitrarios $V(\vec{x})$ esto no será así.

Answer 3

Para resumir lo que dice el OP. Tomando $E(x, \dot{x}, t)$ la energía en una dependencia general de la posición, la velocidad y el tiempo. Si tomamos la derivada total respecto al tiempo $$ \frac{dE}{dt} = \frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} + \frac{\partial E}{\partial t} \tag{1} $$ Si el sistema es conservador y la energía no depende explícitamente del tiempo que tenemos: $$\frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} = 0 \tag{2}$$ Se puede escribir la energía en el caso de la fuerza conservativa como una suma de energía cinética, cuadrática en la velocidad y energía potencial. $$ E = E_{kin}(\dot{x}^2) + U(x) \tag{3}$$ Utilizando (2) y (3): $$ m\dot{x}\ddot{x} + \frac{\partial U}{\partial x}\dot{x} = 0 \tag{4}$$ Tomando $\dot{x} $ no es igual a cero, y dividiendo por ello. $$ m\ddot{x} = - \frac{\partial U}{\partial x} \tag{5}$$ Esa es exactamente la ecuación del movimiento en 1-D, para la fuerza conservadora, donde se puede obtener la fuerza a partir del gradiente (en 1-D, derivada simple) de una función llamada energía potencial.

Cuando la energía es un primera integral y es un problema unidimensional sabemos toda la información que necesitamos saber. Si la energía es una constante del movimiento es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la constancia energética es una restricción que permite escribir las soluciones. Todo este discurso se asemeja a la formulación hamiltoniana de la mecánica.

Answer 4

Tienes razón en que la conservación de la energía nos da ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, cada vez que esto funcione, fíjate en que impones algunas restricciones. En tu caso, has impuesto que el movimiento es unidimensional. Observa que la conservación de la energía te da 1 ecuación. Pero, a veces, necesitamos un sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, consideremos un bloque sobre una pendiente sin fricción en un suelo sin fricción. Tanto el bloque como la pendiente se moverán, por lo que una ecuación es insuficiente.

La energía total de un sistema cerrado es en realidad el Hamiltoniano, $\mathcal H = T+U$ y puedes encontrar las ecuaciones de movimiento usando Mecánica hamiltoniana .