encontrar $\frac{ax+b}{x+c}$ en fracciones parciales

Question

$$y=\frac{ax+b}{x+c}$$ encontrar a,b y c dado que hay asíntotas en $x=-1$ et $y=-2$ y la curva pasa por (3,0)

Sé que c=1 pero no sé cómo encontrar a y b?

Pensaba que se expresaba y en fracción parcial, de modo que se obtiene algo así como $y=Ax+B+\frac{C}{x+D}$

Answer 1

Vas por buen camino; $$\frac{ax+b}{x+c}=\frac{ax+ac-ac+b}{x+c}=a+\frac{-ac+b}{x+c}$$ Como $x\to \pm \infty$ la fracción desaparece y te quedas con $a$ . Por lo tanto, $a=-2$ .

Answer 2

La línea $x =-1$ es asíntota, en ese caso debemos tener:

$$\lim_{x\to -1}\frac{ax+b}{x+c}=\pm\infty$$

He escrito $\pm$ porque cualquiera de ellos es válido. Esto es sólo un abuso de la notación para hacer esto un poco más rápido. Para que esto ocurra necesitamos un cero en el denominador en $x=-1$ ya que esto es sólo una función racional. En ese caso queremos $c=1$ .

La línea $y = -2$ es asíntota, por lo que tenemos

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{ax+b}{x+c}=-2$$

En ese caso, nuestra estrategia es calcular el límite e igualarlo a este valor. Para calcular el límite hacemos lo siguiente:

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{ax+b}{x+c}=\lim_{x\to\infty}\frac{a+\frac{b}{x}}{1+\frac{c}{x}}=a$$

Esto implica que $a = -2$ . Por último, como la curva pasa por $(3,0)$ que tenemos (ya voy a enchufar $a$ et $c$ ):

$$\frac{-2\cdot3+b}{3+1}=0$$

Esto implica que $b=6$ . Así que la función que quieres es $f : \Bbb R \setminus \{1\} \to \Bbb R$ dado por:

$$f(x)=\frac{-2x+6}{x+1}$$

Answer 3

$c=1$ y como la curva pasa por (3,0), tenemos $b = -3a$ . Así que $y=a\frac{x-3}{x+1} = a(1-\frac{4}{x+1})$ que converge a a cuando x va al infinito. Así que $a=-2$