Ecuación con números enteros $x$ , $y$

Question

Si $x$ , $y$ enteros positivos ( $x<y$ ), ¿cómo puedo resolver la ecuación $x+y=14\sqrt{xy-48}$ ?

Answer 1

Diga $z=x+y\geq 0$ entonces $$ z^2 = 14^2(zx-x^2)-14^2\cdot 48$$ así que $z= 14t$ y así tenemos $$t^2= 14tx-x^2-48$$ o $$t^2-14tx +49x^2 =48(x^2-1)$$ así que $$(t-7x)^2= 48(x^2-1)$$ y ahora tenemos $t-7x = 12s$ para algún número entero $s$ . Así que tenemos $$ 3s^2= x^2-1$$ Si $3|x-1$ entonces $$x-1 =3u^2\;\;\;{\rm and} \;\;\;x+1 = v^2$$ donde $u,v$ son relativamente primos. En este caso tomamos mod 3 y obtenemos $v^2 =_3 2$ que es imposible.

Si $3|x+1$ entonces $$x+1 =3u^2\;\;\;{\rm and} \;\;\;x-1 = v^2$$ donde $u,v$ son relativamente primos. Entonces obtenemos la ecuación de Pell $3u^2-v^2=2$ que tiene infinitas soluciones...

Answer 2

Al elevar al cuadrado se obtiene la ecuación diofantina $$ x^2 - 194xy + y^2 + 9408=0. $$ Este tipo de ecuación diofantina se puede resolver en general, véase por ejemplo aquí o aquí . Las posibles soluciones son $(x,y)=(1,97),(2,26), (26,2),(26,5042), (97,1),(97,18817), \cdots $ . Se reduce a una ecuación diofantina de tipo Pell.

Answer 3

Lo tenemos: $$x + y = 14\sqrt{xy -48} \implies 196(xy-48)= (x+y)^2 \implies x^2+y^2-194xy+9408 =0$$

Ahora, reordenando los términos obtenemos: $$ y^2-194xy = -x^2-9408 \implies 9409x^2-194xy +y^2=9408x^2-9408$$ $$ \implies (y-97x)^2 = 9408(x^2-1) \implies y = 97x \pm 56\sqrt{3(x^2-1)}$$

Hay muchas soluciones para esto: $(1,97), (2,26)$ etc.

Answer 4

Escriba $x^2 - 194xy + y^2$ en forma de matriz: $$ \pmatrix{x & y} \pmatrix{ 1 & -97 \\ -97 & 1} \pmatrix{x \\ y} $$ Esta matriz tiene vectores propios $(1,\pm 1)$ lo que nos lleva a considerar $u=x+y$ et $v=x-y$ .

Entonces $x^2 - 194xy + y^2 + 9408=0$ se convierte en $49 v^2 - 48 u^2+ 9408=0$ .

Desde $9408 =2^6×3×7^2$ Esto implica que $u=7u_1$ et $v=12v_1$ y así $3v_1^2-u_1^2+4=0$ Una ecuación Pell.