¿Alguien sabe de alguna aplicación de los sistemas lineales de EDs además de los sistemas de resortes-masas múltiples y los circuitos paralelos? Estoy buscando una aplicación interesante para mostrar a mis alumnos de ED y ya hemos pasado bastante tiempo viendo los sistemas de masa de muelles y los circuitos. Sin embargo, estas son las únicas dos aplicaciones que he podido encontrar. Gracias.
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Andrew
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153
Un ejemplo es la aplicación de la ley de Newton del enfriamiento a un objeto sumergido en un fluido refrigerante o calentador, que a su vez está expuesto a un ambiente.
Supongamos que un padre cariñoso calienta un biberón de leche refrigerado para su hijo pequeño sumergiéndolo en un cuenco de agua caliente. Si $M$ es la temperatura de la leche en la botella y $W$ es la temperatura del agua en el recipiente, entonces
$$ \frac{dB}{dT} = k_{WB}(B-W)$$ $$ \frac{dW}{dT} = k_{W}(W - T_a) - k_{BW}(W-B)$$
Donde los coeficientes $K_{WB},$ $K_{BW}$ y $K_{W}$ se dan o se determinan experimentalmente. Se trata de un sistema lineal simple no homogéneo.
Rob
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1
Hago problemas de entrada/salida con más de un tanque. Si x(t) representa la cantidad de sal en un tanque en función del tiempo, y tienes salmuera (o agua pura) entrando y salmuera completamente mezclada saliendo, entonces la ecuación diferencial para un tanque es
dx/dt = CAUDAL DE ENTRADA - CAUDAL DE SALIDA
Si tienes dos tanques, uno con x(t) kg de sal y el otro con y(t) kg de sal, y están interconectados, entonces obtienes un sistema de ecuaciones diferenciales:
dx/dt = CAUDAL DE ENTRADA - CAUDAL DE SALIDA dy/dt = CAUDAL DE ENTRADA - CAUDAL DE SALIDA
Sin embargo, los índices pueden ser interdependientes.
user3185493
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31
Una de las aplicaciones más populares son los sistemas de depredadores y presas. Es una aplicación bastante obvia, pero sin duda interesante.
Usted tiene el sistema \begin{equation} \frac{dx}{dt} = x(a-by) \end{equation} \begin{equation} \frac{dy}{dt} = cy(x-d) \end{equation} Donde $x$ es la población de cebras, $y$ es la población de leones, y $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son sólo constantes de tu elección. (Puedes hacer que $a = b = c = d = 1$ . Necesitarías MATLAB, o MAPLE, o cualquier software que pueda dibujar curvas de solución al sistema de EDOs. A continuación, puedes explicar a tus alumnos qué significa la curva de solución.
Hay muchos estados en este sistema depredador-presa.
[A] La población de leones y cebras es relativamente pequeña.
[B] El reducido número de leones permite que la población de cebras aumente.
[C] El aumento del número de cebras permite que la población de leones aumente.
[D] El aumento de la población de leones hace que la población de cebras disminuya.
[E] La disminución de la población de cebras hace que la población de leones disminuya. Así pues, volvemos a la fase A.
Personalmente, creo que los modelos depredador-presa son una gran aplicación de los sistemas de EDO. La mayoría de las veces, se espera que los estudiantes se limiten a resolver sistemas de EDO, pero es increíble poder observar cuánta información puede aportar una curva de solución de un sistema de EDO.
