¿Puede el tensor de campo electromagnético ¿se puede considerar como el producto tensorial de dos vectores físicamente razonables? ¿Están los vectores construidos arbitrariamente de manera que sus componentes simplemente dan los valores de la matriz tensorial del campo electromagnético? No me siento muy cómodo pensando en cosas como los tensores de segundo rango como otra cosa que no sean productos tensoriales de vectores, así que mostrar cómo las transformaciones tensoriales de segundo rango como el tensor de campo e-m actúan bajo cosas como las transformaciones de Lorentz es como un juego sin ningún significado para mí en este momento, desafortunadamente, estoy pensando que tratar de interpretarlo en términos de productos tensoriales de vectores hace las cosas más intuitivas (es decir, operadores en vectores simples)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cualquier tensor tiene un número de perspectivas igualmente válidas sobre él, dependiendo de cuántos, y qué, índices pongas arriba y abajo. Como quieres entender el tensor de campo electromagnético en términos de operaciones sobre vectores simples, hay una perspectiva "mixta" que puede ayudarte a intuirlo, y es pensar en este tensor como una transformación lineal.
Le site Fuerza de Lorentz es, de hecho, la fuerza más general (tal y como permite la relatividad especial) que es proporcional a la velocidad de la partícula. En notación relativista, se puede escribir como $$ \frac{dp^\mu}{d\tau}=qF^\mu_{\ \ \ \nu}u^\nu, \tag1 $$ donde $u^\nu=(\gamma,\gamma\vec\beta)$ es la cuatro-velocidad de la partícula, $p^\mu=mu^\mu$ su cuatro-momento, y $q$ es su carga eléctrica.
Observe que he utilizado la forma $F^\mu_{\ \ \ \nu}u^\nu$ para la contracción, en lugar de la forma equivalente $F^{\mu\nu}u_\nu$ en términos de dos tensores. La forma en (1) toma un vector, $u_\nu$ (en lugar de un covector), y devuelve otro vector. Así, $F$ es, desde esta perspectiva, una transformación lineal del espaciotiempo 4D en sí mismo.* ¡No se trata de objetos exóticos!
Por otro lado, ¿cómo vamos a dar sentido a todas esas extrañas propiedades que suenan a tensor? En particular, ¿qué significa "antisimétrico" en este contexto? Esto surge del hecho de que la norma (relativista) de $u^\mu$ se fija siempre en $u_\mu u^\mu\equiv1$ que en esta formulación implica que $$ 0=m\frac{d}{d\tau}u_\mu u^\mu=2u_\mu m\frac{du^\mu}{d\tau}=q u_\mu F^\mu_{\ \ \ \nu}u^\nu. $$ Esto se puede simplificar recuperando una notación más algebraica, utilizando $F(u)$ para el cuatro vector con componentes $F^\mu_{\ \ \ \nu}u^\nu$ y utilizando $u\cdot v=u_\mu v^\mu$ para el producto interno de Lorentz. En este sentido, lo que pedimos es simplemente $F(u)$ para ser Lorentz-ortogonal a su entrada $u$ : $$u\cdot F(u)=0.$$ Fácil. Para que esto se parezca más a una condición de antisimetría, evalúa esta ecuación cambiando $u$ para algún otro vector $v$ y por su suma $u+v$ y después de simplificar obtendrás $$u\cdot F(v)=-v\cdot F(u).$$
Al poner las cosas en este lenguaje también se simplifica enormemente lo que es la ley de transformación bajo transformaciones de Lorentz para estos tensores. Si $p=qF(u)$ et $p$ et $u$ transformarse en $p'=\Lambda p$ et $u'=\Lambda u$ y luego para la ley transformada, $\frac{dp'}{d\tau}=qF'(u')$ para sostener, necesitamos $$ \frac{dp'}{d\tau}=\Lambda \frac{dp}{d\tau}=q\Lambda F(u)=q\Lambda F(\Lambda^{-1} u), $$ por lo que la transformación lineal transformada es simplemente $F'=\Lambda F \Lambda^{-1}$ y lo que sea que se reduzca en términos de componentes.
Si le gusta este tipo de perspectiva, le recomiendo encarecidamente La geometría del espaciotiempo de Minkowski (G. L. Naber, Springer, 2012) .
*Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta definición sólo es válida para el futuro, como el tiempo. $u$ y debe extenderse por linealidad a los vectores nulos y espaciales. Sin embargo, esto es fácil de hacer.
En un marco de referencia dado, el campo electromagnético puede escribirse como la suma de los campos eléctrico y magnético.
En el lenguaje de las formas diferenciales en un espacio-tiempo de 4 dimensiones (y hasta el signo puedo haber metido la pata), esto parece $$ F = E + \star B $$ donde $$ E = \sum_i E_i \,{\rm d}x^i\wedge{\rm d}t \\ B = \sum_i B_i \,{\rm d}x^i\wedge{\rm d}t $$ Como se menciona en esta respuesta En general, no puede escribirse como un único producto exterior. Además, un impulso de Lorentz mezclará los componentes de $E$ et $B$ Por esta razón, hemos creado la entidad única $F$ en primer lugar.
En cada uno de los puntos $x\in M$ del espacio-tiempo, también tenemos $$ F_x\in\bigwedge^2{\rm T}^*_xM\subset{\rm T}^*_xM\otimes{\rm T}^*_xM\cong\rm{Hom}({\rm T}_xM,{\rm T}^*_xM) $$ es decir, podemos entender el campo electromagnético como un mapa $$ F:{\rm T}M\to {\rm T}^*M $$ mapeando un vector de velocidad a un covector, el cual es (hasta la carga y algunos juegos con la geometría) sólo la fuerza de Lorentz.
Si preguntas por una razón más profunda de por qué el campo electromagnético es una 2 forma, deberías buscar en la teoría gauge (en particular en la teoría clásica de Yang-Mills). El campo electromagnético acaba siendo la 2 forma de curvatura de una conexión principal, que es la diferencial covariante exterior de la 1 forma de conexión (en general valorada en álgebra de Lie) (el potencial vectorial).
En primer lugar, el tensor electromagnético es un bivector y así un producto exterior es necesario.
En segundo lugar, se puede demostrar que, en general, el tensor electromagnético es el suma de dos bivectores y por lo tanto, no es un bivector simple es decir, no es el producto exterior de dos vectores.
Sí, esto es posible. Es el producto del vector gradiente con el potencial. Utiliza los Octoniones para formar el producto. La tabla de multiplicación de Octoniones correspondiente está definida por los siguientes triples cuaterniónicos:(Ijk), (iJk), (ijK), (IJK), (Iim), (Jjm), (Kkm). Las minúsculas son vectores y las mayúsculas son bivectores.
Tenga en cuenta que m $ \sqrt {-1}=l $
Digamos que el potencial vectorial es A y el operador de gradiente vectorial cuatridimensional es D, Utilizando $ i, j, k, l $ como los vectores unitarios. Entonces DA=-D-A+( DyAz-DzAy)I +(DzAx-DxAz) J +(DxAy-DyAx) K+ $ \sqrt {-1} $ {(DxAt+DtAx) l +(DyAt+DtAy) J+(DzAt+DtAz) K}. Utilizando el gauge de lorentz el término D-A es cero. Las 6 componentes independientes del tensor de índice superior electromagnético están compuestas por las 3 componentes reales de I J K y las 3 componentes imaginarias de I J K.
