Requerido para probar: Que $a$ et $b$ sean números enteros. Sea $S$ = { $ma + nb$ : $m,n \in \mathbb{Z}$ et $ma + nb > 0$ }, y $d$ sea el menor elemento. Demuestre que $d$ | $a$ .
La siguiente es la forma en que intenté mi prueba:
Considere $d$ no es un divisor de $a$ es decir, por el Algoritmo de la División, $a = qd + r$ para $r \in \mathbb{Z}, 0 < r < d$ . (Tenga en cuenta que $0 < r$ ya que estamos considerando que $d$ no es un divisor, es decir, debe haber una especie de resto).
Desde $d \in S$ , $d >= 1$ .
De ello se desprende que $0 < r < 1$ , ya que $d >= 1$ .
Sin embargo, $r \in \mathbb{Z}$ y como $0 < r < 1$ tenemos una contradicción. Por definición del resto entonces, $0 <= r < 1$ es decir $r = 0$ .
Por lo tanto, $d$ debe ser un divisor de $a$ .
No estoy del todo seguro de la prueba, pero también tengo algunas dudas sobre la pregunta. Consideremos el caso en el que $a = 5$ et $b = 3$ . En este caso. Entonces el menor elemento es 2 ( $m = 1$ , $n = -1$ ). En este caso, 2|5 no puede ser el caso. No estoy seguro de si la pregunta está pidiendo algunos valores específicos de $a$ et $b$ en el conjunto $\mathbb{Z}$ o si para todos los valores de $a$ et $b$ .
Saludos, Xandru
