El dominio es Hausdorff si la imagen del mapa de cobertura es Hausdorff

Question

Supongamos que $p:X\rightarrow Y$ es un mapa de cobertura. Demuestre que si $Y$ es Hausdorff, entonces también lo es $X$ .

Tengo una respuesta, pero no estoy seguro de que sea correcta.

Por definición de Hausdorff, $\forall x,y, \in Y, x\neq y,\exists U$ barrio abierto de $x$ y $V$ barrio abierto de $y$ s.t. $U\cap V =\emptyset$ . Sea $a_i,b_i\in C_i$ s.t. $p(a_i)=x$ y $p(b_i)=y$ , donde $C_i$ son los conjuntos abiertos disjuntos definidos en el dominio de un mapa de cobertura. Por homemorfismo de restricción de $p$ en $U_i$ , $a_i\in A_i\subset p^{-1}(U)\cap C_i$ y $b_i\in B_i\subset p^{-1}(V)\cap C_i$ y así $A_i\cap B_i=\emptyset$ . Por lo tanto, $X$ es Hausdorff.

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Hay que empezar con dos puntos $a,b$ en $X$ y concluir que existen conjuntos abiertos disjuntos $A$ y $B$ de $X$ tal que $a\in A$ y $b\in B$ . En su argumento, parte de dos puntos $x,y$ en $Y$ y estás asumiendo que están en un conjunto abierto $D$ de $Y$ tal que $p:C_i\rightarrow D$ son homeomorfismos. ¿Y si no están en tal $D$ ?.

Sugerencia: empezar con dos puntos $a,b$ en $X$ y considerar los casos $p(a)\neq p(b)$ y $p(a)=p(b)$ por separado. En el segundo caso tendrá que utilizar la propiedad de cubrir mapas que ha utilizado anteriormente.