Eventos mutuamente excluyentes (o no)

Question

Supongamos que P(A) = 0,42, P(B) = 0,38 y P(A U B) = 0,70. ¿Son A y B mutuamente excluyentes? Explique su respuesta.

Ahora bien, por lo que he entendido, los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no dependen unos de otros, ¿correcto? Si ese es el caso, entonces no son mutuamente excluyentes ya que P(A) + P(B) no es igual a P(A U B). Si sólo fuera P(A U B) = 0,80 entonces se habrían considerado mutuamente excluyentes. ¿Correcto?

Answer 1

"Mutuamente exclusivo" e "independiente" no significan lo mismo: son diferentes.

"Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no dependen unos de otros, ¿correcto?"

NO:

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambas cosas. Si lanzamos una moneda al aire, obtendremos o bien una cara, o bien una cruz. No podemos obtener ambas cosas. Es decir, los eventos son mutuamente excluyentes.

Independiente son eventos en los que conocer el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro. Saber que es un día soleado no me dice nada sobre el resultado de lanzar un dado. Esos "sucesos" son independientes entre sí.

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes sus probabilidades se suman a la probabilidad de que ocurra un evento (o el otro). En este caso, si el $A$ y $B$ fueron eventos mutuamente excluyentes, entonces tienes razón, necesitaríamos para $P(A) + P(B) = 80$ . Pero lo que tenemos, como usted señala, es que $\,P(A) + P(B) = 70\neq 80.\;$ Así que tienes razón en que $A$ y $B$ son no mutuamente excluyentes, y por la razón correcta: porque $P(A) + P(B) \neq P(A\cup B)$ - aunque hay que tener clara la terminología que se utiliza.

Answer 2

No, los eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir simultáneamente: son disjuntos. Si $A$ y $B$ son disjuntos, entonces $\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)=0.42+0.38=0.80$ . Ese no es el caso aquí, así que $A$ y $B$ no son mutuamente excluyentes.

En otras palabras, sus cálculos y probablemente su razonamiento son correctos, pero su uso de la terminología no lo es: mutuamente excluyentes no significa independiente .

Answer 3

Tiene razón en su segunda conjetura (sobre $0.80$ ), pero no en el suyo. Los eventos que no dependen unos de otros se denominan (apropiadamente) independiente aunque los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir ambos, por lo que son ciertamente dependientes el uno del otro cuando ninguno de los eventos es "imposible" (ya que, si sucede una, entonces la otra es "imposible").

Answer 4

$A$ y $B$ son mutuamente excluyentes si $P(A\cap B)=0$ .

Ahora para la arbitrariedad $A$ y $B$ , $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Esto debería darte lo que necesitas.