¿Hay versión categoría triangulada de Barr-Cuba de tintura de ' Teorema de s?

Question

Es conocido que el teorema de la Cuba de tintura de Comonad es equivalente a teoría de pendiente plana de Grothendieck en esquema.

Hay varios versión de derivado geometría no conmutativa. Me pregunto si alguien desarrolló la versión triangular del teorema de la Cuba de tintura. ¿Y lo que significa, si existe?

Answer 1

No hay un descenso de la teoría de categorías derivadas de por sí uno no puede pegamento objetos en la derivada de la categoría de una cubierta para la definición de un objeto en la base. (Tratando de aplicar el habitual Barr-Beck subyacentes a la llanura de la categoría no ayuda).

Pero creo que la respuesta correcta a tu pregunta es utilizar una versión enriquecida de categorías trianguladas (diferencial de puntuación o $A_\infty$ o estable $\infty$-categorías), para la cual hay una hermosa Barr-Beck y el descenso de la teoría, debido a Jacob Lurie. (Esto se discute en detalle en el n-lab creo, y se me ocurrió recientemente en la n-categoría de la cafetería (donde escribí básicamente el mismo comentario aquí..) Esto queda demostrado en DAG II: álgebra no conmutativa. En el comonadic forma que es como sigue. Dada la contigüidad entre el $\infty$-categorías (vamos a llamar a la functors retroceso y pushforward, para imitar el descenso), si tenemos

1. el retroceso es conservador (respeta isomorphisms), y
2. pullback respeta ciertos límites (es decir, totalizations de cosimplicial objetos, que se dividen después de la retirada)

a continuación, el $\infty$-categoría en la planta baja es equivalente a comodules sobre el comonad (pullback de pushforward). (Hay un opuesto monádico formulario) Esto puede ser verificado en la habitual configuración de donde se espera el descenso de mantener. En otras palabras, si usted piensa de categorías derivadas como ser refinado a $\infty$-categorías (que tiene la derivada de la categoría como sus homotopy categoría), entonces todo lo que quiera celebrar.

Así, mientras que los derivados de las categorías no forman un haz (pila), los perfeccionamientos que hacer: usted puede recuperar un complejo (hasta quasiisomorphism) a partir de una colección de complejos en una portada, la identificación en la solapa, tipo de duda sobre la doble solapa, tipo de duda de coherencias en triple se superpone etc. Más formalmente: definir una gavilla como un presheaf $F$ que tiene la propiedad de que para abrir la cubierta de $U\to X$, la definición de un Cech objeto simplicial $U_\bullet=\{U\times_X U\times_X U\cdots\times_X U\}$, $F(X)$ es la totalización de la cosimplicial objeto de $F(U_\bullet)$. A continuación mejorada de categorías derivadas formulario de poleas (en adecuadas topologías) como era de esperar. Este es, por supuesto, esencial para tener una buena teoría de la no conmutativa la geometría algebraica!

Answer 2

Hay una Beck, el teorema de Karoubian categorías trianguladas, propuesto por Konstevich y Rosenberg en julio de 2004, que es demostrado por el uso de la Verdier del abelianization functor y gradual de las mónadas; vea la página 36 de A. Rosenberg, de los Temas de no conmutativa la geometría algebraica, álgebra homológica y K-teoría, preprint MPIM Bonn 2008-57, pdf.

De hecho, llegaron simultáneamente (15 de julio de 2004) las dos versiones: A-infinito y triangular. La referencia a los nidos es anterior: mientras que en el-infinito no es escribir, pero Kontsevich dio una charla (creo Noviembre de 2004, van den Bergh cumpleaños de la conferencia), donde se formulan y se utiliza el resultado; uno de niza aplicaciones para pegar cierta corriente conmutativa esquemas de conseguir ciertos planes oficiales. Recuerdo muy bien las semanas anteriores el resultado cuando hablamos de las formas posibles del resultado buscado en el IES. Más tarde en la conferencia de Split, Kontsevich dio una charla en la que dio algunos usos en no conmutativa la geometría algebraica.

Estoy en desacuerdo con la afirmación: "Beck, el teorema de comonad es equivalente a Grothendieck plana descenso de la teoría en el esquema". Es decir, Grothendieck dio tanto en el plano de descenso de la teoría de quasicoherent poleas (SGA I. 8.1) que es un caso especial de Beck, el teorema (aunque tiene algunas simetrías que en general no conmutativa caso no tiene), pero también la más fuerte) plano descenso teorema para afín esquemas (SGA I. 8.2) y para morfismos (cf. SGA I. 8.5), que a diferencia de la bajada de quasicoherent poleas, no generalizar a las álgebras no conmutativas y, en consecuencia, a categórico de la instalación.