Magnetismo - Límite de giro grande

Question

En clase estuvimos calculando la función de partición dado el siguiente Hamiltoniano:

$$H = - g\mu_B \sum_{i} \vec{h}.\vec{S_i}$$

donde $\vec{h}$ es el campo magnético externo, y $\vec{S_i}$ es la dirección del giro de $i-th$ partículas. Entiendo cómo resolver exactamente esta función de partición.

Sin embargo, mi profesor también dijo la siguiente afirmación sobre el límite clásico. En este límite el espín puede ser sustituido por un vector clásico de longitud $S$ . No entiendo bien esta afirmación. También una consecuencia de esto es que ahora la función de partición se puede escribir en el límite clásico para ser:

$$Z=\Big[2\pi\int_{0}^{\pi} d\theta sin\theta e^{-\beta g \mu_B hScos\theta}\Big]^N$$

¿Puede alguien arrojar algo de luz? Gracias.

Answer 1

En el caso de la mecánica cuántica, los valores de espín $S_i$ puede tomar dos valores: arriba (el valor es +1/2) y abajo (el valor es -1/2). Por lo tanto, se tiene un espacio de configuración discreto (discreción también para la partícula en la caja o el oscilador armónico en la estadística cuántica).

En la mecánica clásica, sin embargo, se tiene un espacio de fase continuo y se asumen los espines como simples varillas giratorias de igual longitud. El espacio de configuración aquí para el i-ésimo espín es

$(\phi_i,\theta_i), \phi_i \in [0, 2\pi], \theta_i \in [0, \pi]$ . (coordenadas esféricas)

Ahora puedes calcular el producto punto de $\vec{h}$ (dirección constante; frecuentemente se asume que apunta en la dirección z cartesiana) y $\vec{S_i}$ Esto es, por álgebra vectorial elemental:

$\vec{h} \vec{S_i} = hS_i cos \theta$ . ( $h$ y $S_i$ son todos constantes; $S_i = S$ (es decir, cada "varilla giratoria" tiene la misma longitud)

Ahora, la función de partición debe ser una integral multidimensional sobre $d \phi_i d \theta_i sin \theta_i$ (el elemento de superficie de la esfera) para todos los espines i. Se producen factores iguales para todos los $N$ giros y por lo tanto tendrá la función de partición para un solo giro pero al poder $N$ . Porque el integrando no depende de $\phi$ La integración de los factores de la misma en el factor $2 \pi$ .