$\iiint_M (x+y+z)\,dx\,dy\,dz$ en $M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}: 0≤z≤(x^2+y^2)^2≤81\}$

Question

$$\iiint_M (x+y+z)\,dx\,dy\,dz$$ en $M=\{(x,y,z)\in\mathbb{R^3}: 0z(x^2+y^2)^281\}$ . ¿Cómo puedo expresar esto con los límites correctos? Una vez que tenga los límites puedo continuar por mi cuenta, pero necesito los límites, ya que es la primera vez que me encuentro con este tipo de límites con el $M$ . Cualquier pista sobre el cambio de límites sería de gran ayuda.

Answer 1

Creo que es más natural hacerlo en coordenadas cilíndricas. Entonces las condiciones $$0\leqslant z\leqslant(x^2+y^2)^2\leqslant81$$ convertirse en $$0\leqslant z\leqslant\rho^4\leqslant81.$$ Así que, como $x=\rho\cos(\theta)$ y $y=\rho\sin(\theta)$ , usted tiene $$(x^2+y^2)^2=\bigl(\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2(\theta)\bigr)=\rho^4$$ y (ya que $\rho\geqslant0$ ) $$\rho^4\leqslant81\iff\rho^2\leqslant3^4\iff0\leqslant\rho\leqslant3.$$ Desde $M$ no cambia cuando se gira alrededor del $z$ -eje, $\theta$ puede tomar cualquier valor de $[0,2\pi]$ . Así, su integral se convierte en $$\int_0^{2\pi}\int_0^3\int_0^{\rho^4}\rho\bigl(\rho\cos(\theta)+\rho\sin(\theta)+z\bigr)\,\mathrm dz\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta.$$

Answer 2

En coordenadas cilíndricas,
$x = r \cos\theta, y = r \sin\theta, x^2 + y^2 = r^2$

La región viene dada por $0 \leq z \leq r^4 \leq 81$ . Tenga en cuenta $r^4 \geq z \geq 0 \implies r \geq z^{1/4}$ y $r^4 \leq 81 \implies r \leq 3$

Así que la región está delimitada entre la superficie $r^4 = z$ y el cilindro $r = 3$ .

Si se integra con respecto a $dr$ primero,

$z^{1/4} \leq r \leq 3$ , $0 \leq z \leq 81$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$

Si se integra con respecto a $dz$ primero,

$0 \leq z \leq r^4, 0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$

Otra cosa que hay que notar es la simetría de la región alrededor de los planos x e y y como $x$ y $y$ son funciones Impares, su integral será cero. Así que el integrando se reduce a $z$ .

Answer 3

Desde $(x^2+y^2)^2\le81$ se obtiene $x^2+y^2\le 0,$ por lo que es un disco de radio $3$ centrado en $(0,0).$ Por simetría, $$ \iiint\limits_M (x+y) \,dx\,dy\,dz =0 $$ por lo que sólo tienes $$ \iiint\limits_M z \,dx\,dy\,dz. $$ Si se utilizan coordenadas polares, entonces $(x^2+y^2)^2$ se convierte en $r^4$ y tienes $$ \int_0^{2\pi} \left( \int_0^3 \left( \int_0^{r^4} z \, dz \right) r\,dr \right) \,d\theta. $$ Nada dentro de la integral con respecto a $\theta$ depende de $\theta,$ por lo que sólo se obtiene $2\pi$ veces la integral doble interna.

(Como suele ocurrir, la expresión $r\,dr\,d\theta$ se presta a la computación, pero desde el punto de vista geométrico es realmente $(dr)(r\,d\theta).$ )