Desigualdad que implica la desigualdad de Hadamard

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz en $\mathbb{R^{m \times n}}$ . Sea $A$ y $B$ sea submatrices cuadráticas de $M$ tal que $\det(A)< \det(B)$ .

¿Implica esto que $\prod_{i=1}^n \|A^i\| < \prod_{i=1}^n \|B^i\|$ (utilizando La desigualdad de Hadamard ), donde $A^i$ y $B^i$ denota las columnas de $A$ y $B$ respectivamente.

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta, esto es un contraejemplo:

Dejemos que $$A=\left(\begin{matrix} 10 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 10\\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) $$

$$B=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) $$

Entonces $0=\det(A)<\det(B)=1$ pero $\prod_{i=1}^3 \|a_i\| \ge \prod_{i=1}^3 \|b_i\|$ .

Answer 2

No creo que sea necesario que sean submatrices de una matriz determinada. De hecho, dados dos $n\times n$ siempre puedes concatenarlas para formar una $n\times 2n$ matriz de bruja (por construcción) ambas son submatrices cuadradas).

Como contraejemplo a su pregunta, considere las matrices $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$ $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

$$ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Entonces $\det(A)=\frac{1}{2}<1=\det(B)$ pero $$ \prod_{i=1}^2 \|A^i\| = \sqrt{4+\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} > 1 = \prod_{i=1}^2 \|B^i\| $$