Sea X una variedad compleja hermitiana con forma hermitiana $\omega$ . ¿Cómo se puede demostrar que si $\omega$ tiene una curvatura seccional holomórfica negativa, entonces su curvatura escalar también es negativa?
Respuesta
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Aquí está la respuesta.
Dejemos que $(X,\omega)$ sea un Kähler $n$ -de las dimensiones. Fijar un punto $x_0\in X$ y elegir las coordenadas holomórficas locales $(z_1,\dots,z_n)$ centrado en $x_0$ y tal que $(\partial/\partial z_1,\dots,\partial/\partial z_n)$ es unitaria en $x_0$ . Sea $$ \Theta_{x_0}(T_X,\omega)=\sum_{j,k,l,m=1}^nc_{jklm}\hspace{0.3mm}dz_j\wedge d\bar z_k\otimes\left(\frac\partial{\partial z_l}\right)^*\otimes\frac\partial{\partial z_m} $$ sea la curvatura de Chern en el punto $x_0$ . Consideremos la forma hermitiana inducida en los tensores de rango uno de $T_X\otimes T_X$ dado por $$ \theta_{T_{X,x_o}}(v\otimes w)=\sum_{j,k,l,m}^nc_{jklm}\hspace{0.3mm}v_j\bar v_k w_l\bar w_m, $$ donde $$ v,w\in T_{X,x_0},\quad v=\sum v_j\hspace{0.3mm}\frac\partial{\partial z_j},\quad w=\sum w_j\hspace{0.3mm}\frac\partial{\partial z_j}. $$ Con esta notación, la curvatura seccional holomórfica en la dirección de $v\in T_{X,x_0}\setminus\{0\}$ viene dada por $$ \frac{1}{||v||_\omega^4}\theta_{T_{X,x_o}}(v\otimes v). $$ La idea ahora es tomar la media en el $\omega$ -esfera de la unidad $S^{2n-1}$ y tratar de deducir algo sobre la curvatura escalar en el punto $x_0$ que viene dado por $$ s(x_0)=2\sum_{j,k=1}^nc_{jjkk}. $$ Entonces, calculemos la integral $$ \int_{S^{2n-1}}\sum_{j,k,l,m}^nc_{jklm}\hspace{0.3mm}\xi_j\bar \xi_k \xi_l\bar \xi_m\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi), $$ donde $d\sigma(\xi)$ es la medida de probabilidad de Haar en $S^{2n-1}$ . No es difícil ver que la integral $$ \int_{S^{2n-1}}\xi_j\bar \xi_k \xi_l\bar \xi_m\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi) $$ se desvanece a menos que $j=k$ y $l=m$ o $j=m$ y $k=l$ . Por lo tanto, tenemos que calcular $$ \int_{S^{2n-1}}|\xi_j|^2|\xi_k|^2\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi),\quad j,k=1,\dots,n. $$ Se sabe clásicamente que $$ \int_{S^{2n-1}}|\xi_j|^4\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi)=\frac 2{n(n+1)},\quad j=1,\dots,n, $$ y $$ \int_{S^{2n-1}}|\xi_j|^2|\xi_k|^2\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi)=\frac 1{n(n+1)},\quad 1\le j\ne k\le n. $$ Entonces, obtenemos $$ \begin{aligned} \int_{S^{2n-1}}\sum_{j,k,l,m}^nc_{jklm}\hspace{0.3mm}\xi_j\bar \xi_k \xi_l\bar \xi_m\hspace{0.3mm}d\sigma(\xi) & =\sum_{j,k=1}^nc_{jjkk}\left(\delta_{jk}\frac 2{n(n+1)}+(1-\delta_{jk})\frac 2{n(n+1)}\right) \\ & = \frac 2{n(n+1)}\sum_{j,k=1}^nc_{jjkk}=\frac 1{n(n+1)}s(x_0), \end{aligned} $$ donde hemos utilizado la identidad de Kähler $c_{jklm}=c_{jmlk}$ .
Así, si $\frac{1}{||v||_\omega^4}\theta_{T_{X,x_o}}(v\otimes v)$ es negativo, también lo es su media y hemos terminado.
