Hallazgo

Question

Cómo demostrar que %#% $ #%

Traté de sustituciones como $$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin^4(\log x)}{x^2 \log x} \mathrm{d}x=\dfrac{\log\left(\dfrac{625}{17}\right)}{16}$, pero no parece trabajar. Por favor me ayude a cabo. Gracias.

Answer 1

La integral pide a gritos un sub $x=e^u$; el resultado es

$$\int_0^{\infty} du \, e^{-u} \frac{\sin^4{u}}{u} $$

Esto es muy computable mediante la introducción de un parámetro y la diferenciación en virtud de la integral. En este caso, considere la posibilidad de

$$F(k) = \int_0^{\infty} du \, e^{-k u} \frac{\sin^4{u}}{u} $$

$$F'(k) = -\int_0^{\infty} du \, e^{-k u} \sin^4{u} $$

$F'(k)$ es relativamente fácil de calcular, usando el hecho de que $\sin^4{u} = \frac{3}{8}-\frac12 \cos{2 u} + \frac18 \cos{4 u}$, y que

$$\int_0^{\infty} du \, e^{-k u} \cos{m u} = \frac{k}{k^2+m^2}$$

Así

$$F'(k) = -\frac{3}{8 k} + \frac12 \frac{k}{k^2+4} - \frac18 \frac{k}{k^2+16} $$

y

$$F(k) = -\frac1{16} \log{\left [ \frac{k^6 (k^2+16)}{(k^2+4)^4} \right ]} + C$$

Para evaluar $C$, se debe considerar la posibilidad de $\lim_{k \to \infty} F(k)$ porque $F(0)$ representa un no convergente integral. Porque el límite es cero, debemos tener $C=0$. La integral que buscamos es entonces

$$F(1) = \frac1{16} \log{\frac{625}{17}}$$

Answer 2

Propongo el siguiente enfoque:

• Deje $t=\dfrac1x$
• Deje $u=\ln t$.
• El uso de la energía-reducción de la fórmula para $\sin^4x$.
• Emplear la fórmula de Euler en conjunción con el lineal propiedades de la integral.
• Expresa su nuevo integrante(s) en términos de $I(k)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-kx}~dx$. Tendrás $\displaystyle\int I(k)~dk$, donde

$\qquad I(k)$ va a llegar a ser una función racional en k. Resolver mediante los métodos habituales.