En el tratamiento de Weinberg de las simetrías, ¿se está considerando realmente un grupo abstracto subyacente?

Question

Estoy estudiando los libros de QFT de Weinberg, y con respecto a las simetrías estoy bastante confundido sobre la distinción entre un grupo y sus representaciones en la presentación de Weinberg.

1. En primer lugar, Weinberg afirma que las transformaciones de simetría son transformaciones de rayo que preservan las probabilidades $P(\mathscr{R}\to \mathscr{R}_n)$ definido para un rayo $\mathscr{R}$ y una familia de rayos mutuamente ortogonales $\mathscr{R}_n$ para ser

   $$P(\mathscr{R}\to \mathscr{R}_n)=|(\Psi,\Psi_n)|^2,\quad \forall\Psi\in \mathscr{R},\Psi_n\in \mathscr{R}_n.\tag{2.1.7}$$

   A continuación señala (p. 52) que:

   El conjunto de transformaciones de simetría tiene ciertas propiedades que lo definen como un grupo . Si $T_1$ es una transformación que toma rayos $\mathscr{R}_n$ en $\mathscr{R}_n'$ y $T_2$ es otra transformación que toma $\mathscr{R}_n'$ en $\mathscr{R}_n''$ entonces el resultado de realizar ambas transformaciones es otra transformación de simetría, que escribimos $T_2T_1$ , que toma $\mathscr{R}_n$ en $\mathscr{R}_n''$ . Además, una transofrmación de la simetría $T$ que toma los rayos $\mathscr{R}_n$ en $\mathscr{R}_n'$ tiene un inverso escrito $T^{-1}$ que lleva $\mathscr{R}_n'$ en $\mathscr{R}_n$ y existe una transformación de identidad $T =1$ que deja los rayos sin cambiar.

2. También enuncia el teorema de Wigner que afirma que las transformaciones de simetría definidas como arriba pueden realizarse mediante operadores lineales unitarios o antiunitarios y antilieales en el espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ . En su notación, para cada transformación de simetría $T$ se obtiene un operador unitario $U(T)$ . Entonces Weinberg demuestra que

   $$U(T_2)U(T_1)=e^{i\phi(T_2,T_1)}U(T_2T_1), \tag{2.2.14}$$

diciendo que $U(T)$ es una representación proyectiva de las transformaciones de simetría.

Después de esta recapitulación, aquí están mis preguntas:

Así que por (1) anterior, para tratar con simetrías, Weinberg está considerando implícitamente que hay un grupo $G$ tal que tenemos un homomorfismo $T$ cartografía $G$ en el grupo de las transformaciones de los rayos?

En otras palabras, para cada $g \in G$ tenemos $T(g)$ una transformación de rayo. Al imponer el requisito de simetría por (2) arriba, tenemos que todos $T(g)$ desciende a uno $U(T(g))$ y estos $U(T(g))$ forman una representación proyectiva de $G$ .

Por eso al final se olvida $T$ y trabaja directamente con representaciones proyectivas de $G$ en el espacio de Hilbert de los estados. ¿Es eso?

La principal diferencia entre lo que escribo y Weinberg es que yo intento abstraer un grupo de sus representaciones.

Así que supongo que hay un grupo subyacente $G$ de simetrías, que dan lugar a las transformaciones de rayo y luego a las representaciones proyectivas, mientras que Weinberg parece identificar $G$ con las propias transformaciones de los rayos.

¿Es correcto mi punto de vista de considerar que hay un grupo abstracto detrás de todo esto? O en realidad no hay ningún grupo detrás de las transformaciones de los rayos, y Weinberg es en realidad definir un grupo con las propias transformaciones de los rayos, en su lugar?

Answer 1

En esencia, tiene razón. La filosofía de Weinberg es básicamente esta: Suponga que sabe (debido a resultados experimentales, digamos) que el sistema físico que está estudiando tiene simetrías descritas por un grupo $G$ . Hay muchos ejemplos de esto, por ejemplo, la simetría rotacional en 3 dimensiones que se describe por el grupo $SO(3)$ . ¿Cómo se puede construir un espacio de Hilbert $\mathcal H$ que describe este sistema mecánico cuántico?

Cualquier transformación de simetría debe satisfacer dos propiedades:

• Debe llevar los estados físicos a los estados físicos.
• Debe conservar las probabilidades cuando la transformación se aplica tanto a los estados iniciales como a los finales.

Estos definen una transformación de rayo. Es decir, por la primera condición, tenemos un mapa de $G$ al espacio de auto-mapas en el espacio proyectivo de Hilbert $P\mathcal H$ (el espacio cuyos puntos corresponden a estados físicos). La segunda condición de que las probabilidades se conservan significa que cualquier auto-mapa $T:P\mathcal H \rightarrow P \mathcal H$ que es a imagen y semejanza de $G$ debe descender de un operador unitario y lineal o antiunitario y antilineal $U(T):\mathcal H \rightarrow \mathcal H$ . Este es el contenido del teorema de Wigner. Con un poco de trabajo extra, se puede demostrar que esto efectivamente define un homomorfismo. Puedes pensar en esto como un homomorfismo de 2 pasos, siendo el primer mapa de $G$ al grupo de isometría de $P\mathcal H$ con el Fubini-Estudio métrica (este es el "grupo de transformaciones de rayo" en su lenguaje), y el segundo de ahí al grupo de operadores unitarios y lineales o antiunitarios y antilineales sobre $\mathcal H$ . El primer paso es físico, mientras que el segundo es puramente matemático.

El resultado final es que el espacio de Hilbert debe ser una representación proyectiva de $G$ . Esto no es un hecho inmediatamente obvio; uno podría haber pensado que una simetría podría realizarse de forma no lineal en el espacio de Hilbert, pero el teorema de Wigner nos dice que eso no puede ocurrir. Dado que las transformaciones de los rayos no son tan fáciles de trabajar en la práctica, generalmente preferimos trabajar con los operadores.

También planteas la cuestión de si podemos construir el grupo $G$ de su representación (proyectiva). En realidad no es una pregunta totalmente sensata, ya que el grupo $G$ es parte de los datos de la representación. Dicho esto, en determinadas condiciones si se sabe todo las representaciones de $G$ puede ser posible reconstruir $G$ Aunque esta es una dirección diferente de la que habla Weinberg. Más concretamente, dado el conjunto de representaciones (sin ninguno de sus datos) junto con la información sobre cómo están relacionadas (véase Categoría de representaciones ), es posible reconstruir $G$ si es un grupo topológico compacto (hasta una extensión central si incluimos representaciones proyectivas). Esto se conoce como La dualidad Tannaka-Krein .