He calculado el área dentro del círculo $r=3a\cos(\theta)$ y fuera del cardioide $r=a(1+\cos(\theta))$ y obtuve dos respuestas: $a^2\pi + a^2\frac{\sqrt{3}}{2}$ y la respuesta: $a^2 \pi$ . ¿Puede alguien ayudarme, por favor? Porque no estoy muy seguro de cuál es la respuesta correcta.
Respuesta
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heropup
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Si $$r_1(\theta) = 3a \cos \theta$$ es la ecuación del círculo, y $$r_2\theta) = a(1+\cos \theta)$$ es la ecuación de la cardioide, entonces estas curvas se cruzan cuando $r_1(\theta) = r_2(\theta)$ o $3a \cos \theta = a(1+\cos \theta)$ o $$2 \cos \theta = 1.$$ Esto nos da los puntos de intersección $$\theta = \pm \frac{\pi}{3}.$$ Hay otro punto de intersección en el origen, porque el círculo es atravesado dos veces para una sola travesía del cardioide. Pero para nuestros propósitos, podemos integrar en $\theta \in [-\pi/3, \pi/3]$ . El área encerrada entre $r_1$ y $r_2$ viene dada por $$A = \int_{\theta = -\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2}\left(r_1^2(\theta) - r_2^2(\theta)\right) \, d\theta.$$ Tenga en cuenta que esto es no lo mismo que $$\int_{\theta = -\pi/3}^{\pi/2} \frac{1}{2}\left(r_1(\theta) - r_2(\theta)\right)^2 \, d\theta.$$ La segunda integral es incorrecto para la zona delimitada. 
