Evaluar una serie infinita utilizando fracciones parciales...

Question

Tengo problemas para evaluar una serie infinita que utiliza fracciones parciales. El problema es el siguiente: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)} $$

Soy consciente de que se trata de una serie telescópica, pero no soy capaz de encontrar una fórmula general para la Sn.

Después de la descomposición de la fracción parcial, el problema tiene el siguiente aspecto $1/\left(2n\right) - 1/\left(n + 1\right) + 1/\left(2n + 4\right)$ . Introduzco valores para $n = 1, n = 2,$ etc, y algunos se anulan pero no soy capaz de determinar un patrón para escribir para encontrar Sn... Gracias.

Encontré esta respuesta al problema en internet que tiene sentido, hasta el paso en el que hace que Sn sea igual a $1/2(1/2 - 1/\left(n+1\right) + 1/\left(n+2\right)$ . Entiendo los pasos previos pero no estoy seguro de cómo dan ese salto.

Answer 1

$$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)} \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$$

Así que

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1(1+1)}-\frac{1}{(1+1)(1+2)}+\frac{1}{2(2+1)}-\frac{1}{(2+1)(2+2)}+\cdots\right)$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$