¿Descripción de grupos con presentación determinada? $\langle x,y\ |\ xy=yx,x^5=y^3\rangle$ y $\langle x,y\ |\ xy=yx,x^4=y^2\rangle$ .

Question

Estoy tratando de describir los grupos con presentaciones $\langle x,y\ |\ xy=yx,x^5=y^3\rangle$ y $\langle x,y\ |\ xy=yx,x^4=y^2\rangle$ . Tengo algunos problemas para conseguir una buena imagen de cómo son...

Para el primero, $xy=yx$ nos permite decir que cualquier elemento del grupo puede escribirse como $x^iy^j$ para algunos $i,j$ . Más concretamente, utilizando $x^5=y^3$ siempre podemos reducir $j$ a $0,1$ o $2$ mientras que $i$ podría tener cualquier valor. Así que estaba pensando en $\mathbb{Z} \times C_3$ . Pero al revés (reduciendo $i$ esta vez) también es $C_5 \times \mathbb{Z}$ . Pero entonces debería poder demostrar que ambas descripciones son equivalentes, cosa que no puedo hacer...

Para el segundo, procedo de manera similar y llego al mismo tipo de problema...

¿Podría decirme en qué me estoy equivocando?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El grupo $\langle x,y | xy=yx, x^5=y^3 \rangle$ es el cociente de $\langle x,y | xy=yx \rangle = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ (con $x=(1,0)$ y $y=(0,1)$ ) por el subgrupo (normal) generado por $5x-3y=(5,-3)$ , y de forma similar $\langle x,y | xy=yx , x^4=y^2 \rangle$ es el cociente de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ por el subgrupo (normal) generado por $(4,-2)$ . Ahora en general tenemos el resultado para $0 \neq (n,m) \in \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ que

$$(\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z})/\langle (n,m) \rangle \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/\langle d \rangle,$$

donde $d := \mathrm{gcd}(n,m)$ . Estoy seguro de que esto se ha explicado un par de veces en math.SE, pero aquí también se puede ver "directamente":

Escribe el primer grupo de forma aditiva como $\langle x,y : 5x=3y \rangle$ (la conmutatividad está implícita; es decir, tomamos una presentación como grupo abeliano). Podemos reescribir la relación como $2x=3(y-x)$ es decir $2x=3y'$ después de sustituir $y$ por $y'+x$ . La nueva relación puede escribirse como $2(x-y')=y'$ es decir $2x'=y'$ después de sustituir $x$ por $y'+x'$ . Pero ahora $y'$ es superfluo, y vemos que el grupo está generado libremente por $x'=2x-y$ .

¿Te recuerda esto al algoritmo euclidiano? Eso es exactamente lo que ocurre en la forma normal de Smith para $1 \times 2$ -y la forma normal de Smith permite descomponer los grupos abelianos generados finitamente en sumas directas de grupos cíclicos.