Grupos abelianos finitos (aplicación del teorema de la estructura)

Question

Problema

Encuentra todos los grupos abelianos finitos que tienen simultáneamente exactamente $7$ elementos de orden $2$ exactamente8 elementos de orden $3$ exactamente $8$ elementos de orden $4$ al menos un elemento de orden $9$ y ningún elemento de orden $p$ de primera calidad para $p \neq 2,3$ .

Mi intento de solución:

Dejemos que $G$ sea un grupo con tales condiciones. Entonces, podemos ver $G$ como $\mathbb Z$ -módulo. Dado que $\mathbb Z$ es un PID y $G$ está generada finitamente, por el teorema de la estructura tenemos $$G \cong \mathbb Z^n \oplus \mathbb Z/\langle {p_1}^{\alpha_1}\rangle \oplus ... \oplus \mathbb Z/\langle {p_n}^{\alpha_n}\rangle, \space p_i \space \text{prime}, \space n\geq 1$$

Pero $|G|.g=0$ para todos $g \in G$ De aquí se desprende $n=0$ . Como el orden de los elementos tiene que ser $1,2,3,4$ o $9$ entonces $p_i \in \{2,3\}$ .

A partir de este punto he empezado a contar el número de elementos de estos órdenes para los grupos y las posibilidades. Empezó a ser bastante feo combinar estos con el fin de construir $G$ . Por ejemplo, he visto algunos ejemplos de grupos de orden $\mathbb Z_{3^k}$ con $k \geq 2$ y he comprobado que en todos estos casos hay exactamente dos elementos de orden $3$ ya que tiene que haber exactamente $8$ elementos de orden $3$ y al menos uno de orden $9$ Entonces llegué a la conclusión de que $G\cong \mathbb Z/\langle {3^k} \rangle \oplus \mathbb Z/\langle 3^j\rangle \oplus \mathbb Z/\langle 2^{k_1} \rangle \oplus ... \oplus \mathbb Z/\langle 2^{k_n}\rangle$ . Pero sólo he visto que hay exactamente dos elementos de orden $3$ para los grupos $\mathbb Z_9$ y $\mathbb Z_{27}$ y $\mathbb Z_{81}$ No sé y no he podido demostrar que esto sea así para todos los grupos de esa forma ( $\mathbb Z_{3^k}$ , $k\geq 2$ ).

Me quedé atascado tratando de determinar el resto de los cocientes que están relacionados con los elementos de orden $2$ y $4$ .

Agradecería alguna ayuda para organizarme con esto, para contar todos los casos posibles y así no excluir ni olvidar ningún caso.

Answer 1

Una pista: cuente los elementos del orden $p$ en el grupo

$$ \mathbb Z/p^{i_1} \oplus\mathbb Z/p^{i_2} \oplus \dots \oplus \mathbb Z/p^{i_n}.$$

Aquí está la respuesta a la pista:

Debería encontrar que hay exactamente $p^n - 1$ . Es decir, si se escribe un elemento como $(x_1,\dots,x_n)$ que esto tiene orden $p$ si $(px_1,\dots,px_n) = (0,\dots,0)$ es decir, si cada $x_i$ tiene orden $1$ o $p$ y no es el caso que $x_1=\dots=x_n=0$ (el elemento de identidad). Cada grupo cíclico tiene exactamente $p$ elementos de orden $p$ o $1$ , por lo que hay exactamente $p^n$ tales elementos, uno de los cuales es el elemento $(0,0,\dots,0)$ y debe ser excluido.

Resolver las ecuaciones $2^n-1=7$ y $3^m-1=8$ para concluir que su grupo es de la siguiente forma:

$$ \mathbb Z/2^u \oplus \mathbb Z/2^v \oplus \mathbb Z/2^w \oplus \mathbb Z/3^a \oplus Z/3^b, \quad u,v,w,a,b\geq 1 $$

(Obsérvese que los elementos "mixtos" que son distintos de cero tanto en el $2$ - y $3$ -los componentes tendrán un orden divisible por $6$ por lo que no hay que preocuparse por ellos).

A continuación, cuente los elementos de orden $4$ en $\mathbb Z/2^u \oplus \mathbb Z/2^v \oplus \mathbb Z/2^w$ . En su lugar, y por comodidad notacional, determinemos el número de elementos de orden $p^2$ en un grupo de orden $\mathbb Z/p^{i_1}\oplus\dots\oplus\mathbb Z/p^{i_n}$ . Su número viene dado por

$$ \prod_{\ell=1}^n \mathrm{max}(p^2,p^{i_\ell}) - \prod_{\ell=1}^n \mathrm{max}(p,p^{i_\ell}), $$

es decir, el número de elementos de orden $1, 2$ o $4$ menos el número de elementos de orden $1$ o $2$ .

Para ver esto, imagine que escribe un elemento $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ de orden $p^2$ . Para que esto sea posible, cada elemento $x_i$ debe tener la propiedad de que $p^2\cdot x_i=0$ y además el elemento puede no tener orden $p$ . (Esto es bastante similar al razonamiento anterior.) Cada grupo cíclico de orden al menos $p^2$ tendrá exactamente $p^2$ elementos $x$ tal que $p^2\cdot x = 0$ de hecho este es el único subgrupo de orden $p^2$ . Si el pedido es inferior a $p^2$ , estos son simplemente todos los elementos.

En nuestro caso, como tenemos $u,v,w \geq 1$ sin pérdida de generalidad, sólo debemos distinguir los casos en los que (1) $u,v,w>1$ , (2) $u,v>1$ y $w=1$ , (3) $u>1$ y $v=w=1$ , (4) $u=v=w=1$ . El número de elementos de orden $4$ en cada caso viene dado por (1) $4^3-2^3$ (2) $4^2\cdot 2-2^3$ (3) $4\cdot 2^2-2^3$ (4) $2^3-2^3$ por lo que debemos estar en el caso (3).

Así que mi conclusión es que (hasta permutar $u,v,w$ y $a,b$ ) $u=1$ y $a\geq 2$ son condiciones necesarias y suficientes.