Teorema del árbol de la matriz de Kirchoff

Question

Estoy leyendo una demostración del Teorema de la Matriz de Kirchoff:

Si $G$ es un gráfico conectado simple, $D$ la matriz diagonal con los grados de los vértices y $A$ la matriz de adyacencia, entonces en $M = -A+D$ cada cofactor es igual al número de árboles de cobertura de $G$ .

No entiendo en la prueba el siguiente hecho: por qué todos los cofactores de $M$ debe ser igual ?

Answer 1

Otra definición de matriz laplaciana es M( o L) = $QQ^t$ , donde $Q$ es la matriz de incidencia. Por el teorema de Cauchy-Binet, se puede calcular el determinante de $QQ^t$ considerando $Q$ y $Q^t$ . Por lo tanto, si tomamos un cofactor, entonces puede contener ramitas de un árbol y como el determinante de la matriz que contiene (#nodos-1) y ramitas de un árbol es +/- 1. Entonces, multiplicando dos cofactores cada uno de Q y $Q^t$ sólo dará lugar a +1. Además, para cualquier otro cofactor que no contenga todas las aristas que son ramitas de un árbol, su determinante va a 0. Como resultado tenemos determinante del cofactor=#(árboles). Puedes consultar el teorema de Cauchy-Binet en la wikipedia.