Un problema al mostrar $h(X, \operatorname{Ric}(W))= \operatorname{tr} h(\operatorname{Ric}(W,\cdot)\cdot, X)$

Question

Quiero mostrar $(2.3.11)$ pero en mi cálculo, no hay menos.

Lo que intento: desde el $(2)$ Tengo $$ h(X,\text{Ric}(W))=h(X, \text{Ric}(W, e_i)e_i)= \text{tr}\space h( X, \text{Ric}(W, \cdot)\cdot)=\text{tr}\space h(\text{Ric}(W, \cdot)\cdot,X) $$ La última igualdad es de $h=\partial_t g$ donde $g$ es la métrica de Riemann (es decir $h$ es simétrica).

Por lo tanto, creo que no debería haber ningún signo negativo en la línea roja. Pero no estoy seguro, así que pregunta aquí.

Será importante durante la demostración ser capaz de hacer malabares con diferentes formaciones de los términos de orden inferior en la definición de $\Delta _L$ . Primero, tenemos: \begin{align} \tag{2.3.11}h\left(X,\text{Ric}\left(W\right)\right)&=\langle h(X,\cdot),\text{Ric}(W,\cdot)\rangle \\ &=\text{tr}\space h(X,\cdot)\space\otimes\text{Ric}(W,\cdot) \color{red}{\underline{\color{black}{=\text{-tr}\space h(R(W,\cdot)\cdot,X),}}} \end{align} lo que se puede comprobar fácilmente con respecto a un marco ortonormal { $e_i$ }; por ejemplo : \begin{align} \tag{2}\text{tr}\space h(X,\cdot)\space\otimes \text{Ric}(W,\cdot)&=\sum _i h(X,e_i)\text{Ric}(W,e_i)\\ &=h(X,\text{Ric}(W,e_i)e_i)\\ &=h(X,\text{Ric}(W)). \end{align}

Answer 1

Yo también he cometido tu error. La razón es simple. En el libro de Topping, $\mathrm{Ric}(X,Y)$ se ha definido como $\mathsf{tr} Rm(X,.,Y,.)$ y esto es igual a $-\mathsf{tr} Rm(X,.,.,Y)=-\mathsf{tr} \langle R(X,.).,Y\rangle$ por las propiedades de la simetría de la curvatura de Riemann; y creo que el resto está claro (Ten en cuenta que en 2.3.11 es $R$ y no $\mathrm{Ric}$ .)