Interpretación de los coeficientes de la regresión de Poisson truncada por cero

Question

Para la regresión de Poisson no truncada, una variable aleatoria de recuento $Y$ se supone que sigue una distribución de Poisson
$$\mathbb{P} \left\lbrack Y = k \right\rbrack = e^{-\mu} \frac{\mu^k}{k!}, \; k = 0, 1, 2\ldots$$
con el parámetro $\mu > 0$ . El valor esperado de $Y$ se demuestra fácilmente que es igual a $\mu$ . Si queremos modelar $Y$ con respecto a algunos predictores $x \in \mathbb{R}^p$ utilizamos una función de enlace de registro y escribimos
$$\label{eq:link} \log \left( \mathbb{E} \left\lbrack Y \right\rbrack \right) = \log \mu = x^T \beta$$
con un vector $\beta \in \mathbb{R}^p$ de los coeficientes de regresión que hay que estimar. Una vez calculadas las estimaciones de los coeficientes $\hat{\beta}$ es posible interpretar el valor de una sola estimación del coeficiente de regresión $\hat{\beta}_j$ como sigue, en virtud de la ecuación anterior: si el valor del predictor $x_j$ aumenta en uno, los otros predictores se mantienen fijos, entonces el recuento esperado $\mu$ aumenta en un factor $e^{\beta_j}$ .

En el contexto de la regresión de Poisson truncada por cero, consideramos una variable aleatoria $Z$ siguiendo la distribución de probabilidad
$$\mathbb{P} \left\lbrack Z = k \right\rbrack = \frac{\lambda^k}{\left(e^\lambda -1\right) k!}, \; k = 1, 2, 3\ldots$$
con $\lambda > 0$ . Al modelar $Z$ con respecto a un conjunto de predictores $x$ se elige de nuevo un enlace de registro tal que
$$\log \lambda = x^T \beta$$
(véase, por ejemplo, el R family objeto ztpoisson para lme4::glm descrito en https://rdrr.io/rforge/countreg/man/ztpoisson.html ). Aquí, el valor esperado de $Z$ no es igual al parámetro de distribución $\lambda$ pero asciende a
$$\mathbb{E} \left\lbrack Z \right\rbrack = \frac{\lambda}{1 - e^{-\lambda}} = \frac{e^{x^T \beta}}{1-e^{-e^{x^T \beta}}}.$$
Esto hace que la cuantificación del efecto de las estimaciones de los coeficientes de regresión $\hat{\beta_j}$ no es tan sencillo como para la regresión de Poisson no truncada.

Me lo estoy preguntando: ¿Existe alguna forma intuitiva de cuantificar el efecto de la estimación del coeficiente de una regresión de Poisson truncada en cero análoga a la regresión de Poisson no truncada?

Answer 1

Por desgracia, no. No existe (hasta donde yo sé) una forma fácil de ceteris paribus interpretación del efecto de los coeficientes sobre la expectativa de la respuesta truncada en cero.

A veces, el efecto multiplicativo habitual en $\lambda$ tiene una interpretación natural. Es decir, si la expectativa del subyacente sin truncar cuenta es de interés.

Además, es evidente que el efecto multiplicador de un cambio en $x_j$ es como máximo $\text{e}^{\beta_j}$ . Para una observación con alto $\lambda$ (es decir, lo suficientemente lejos del punto de truncamiento 0) el efecto se acercará a $\text{e}^{\beta_j}$ . Por el contrario, para una observación con bajo $\lambda$ (es decir, cerca o incluso por debajo del punto de truncamiento 0) el efecto será casi nulo. Pero esto, por supuesto, depende de todo el vector de regresores $x$ y no sólo el cambio en uno de los regresores.