Una curva que será perpendicular a todos los $c \sin x$

Question

Quiero encontrar una curva paramétrica que sea perpendicular a todas las curvas $y=c \sin x$

Puedo ver que estas curvas serán líneas rectas cuando $x=\frac{2n+1}2\pi$ y deberían convertirse en pequeños círculos como $x\rightarrow n\pi$ Pero no veo cómo lo haría matemáticamente o cómo sería la respuesta.

Lo único que se me ha ocurrido hasta ahora es pensar en una función $F$ y equiparar su derivada para que sea $-\frac{1}{c \cos x}$

$$-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{1}{c \cos x}$$

$$c\cos x\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}$$

Una solución separable para esto sería

$$\exp \bigg(\frac{2 k \tanh ^{-1}\left(\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)}{c}+ky\bigg)$$

Quiero que las curvas paramétricas sean perpendiculares para todos $c$ . Pero no sé si esto tiene sentido y cómo continuaría.

Intuitivamente, espero ver elipses concéntricas centradas en $x=n\pi$

Answer 1

La familia original es: $$ g(x, y) = \frac{y}{\sin(x)} = c $$ Diferenciación implícita respecto a $x$ da: $$ \frac{y'\, \sin(x) - y \, \cos(x)}{\sin(x)^2} = 0 \Rightarrow \\ y' = \cot(x) \, y $$ Una solución ortogonal debe satisfacer la EDO: $$ y' = - \tan(x) \, \frac{1}{y} $$ La separación de variables conduce a $$ \int\! y\, dy = -\! \int\! \tan(x)\,dx \Rightarrow \\ \frac{1}{2} y^2 = \ln(\cos(x)) + C \Rightarrow \\ y = \pm \sqrt{2 \ln(\cos(x)) + d}) $$ para alguna constante de integración $d = 2C$ .

Como ha señalado Rahul, para obtener todas las soluciones hay que utilizar: $$ y = \pm \sqrt{2 \ln(\lvert\cos(x)\rvert) + d}) $$ Parece que este tema .

He aquí una primera imagen:

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Aquí hay otro:

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