Derecho adjoints preservar los límites de

Question

En Awodey del libro leí una mancha de la prueba de que el derecho adjoints preservar límites. Si $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ es un par de functors tal que $(F,G)$ es la contigüidad, entonces si $D:I\to \mathcal{D}$ es un diagrama que tiene un límite, tenemos, para cada $A\in \mathcal{C}$,

$\begin{align*} \hom_\mathcal{C} (A, G(\varprojlim D)) &\simeq \hom_{\mathcal{D}} (F(A),\varprojlim D)\\ & \simeq \varprojlim \hom_{\mathcal{D}}(F(A),D)\\& \simeq \varprojlim \hom_{\mathcal{C}}(A,GD) \\& \simeq \hom_{\mathcal{C}}(A,\varprojlim GD)\end{align*}$

porque representables preservar límites. De ahí que, por Yoneda lema, $G(\varprojlim D)\simeq \varprojlim GD$.

Esto es muy hábil, pero realmente no puedo ver por qué la prueba está terminado. Sí, hemos demostrado que los dos objetos son isomorfos, pero es un límite no es sólo un objeto... no tenemos que demostrar que el isomorfismo también respeta el natural mapas? Es decir,

si $\varphi:G(\varprojlim D)\to \varprojlim GD$ es el isomorfismo, y $\alpha_i: \varprojlim D \to D_i$, $\beta_i:\varprojlim GD \to GD_i$ son de la canónica de mapas para todos los $i\in I$, tenemos que $\beta_i\varphi=G(\alpha_i)$?

No veo cómo esto se desprende de Awodey de la prueba. ¿Cómo podemos deducir?

Answer 1

La prueba es muy agradable, pero uno tiene que ser absolutamente claro acerca de lo que necesita ser probada con el fin de comprenderlo. La demanda es, si $\lambda_i : \varprojlim D \to D_i$ es una limitación de cono en $\mathcal{D}$, $G \lambda_i : G(\varprojlim D) \to G D_i$ es una limitación de cono en $\mathcal{C}$. Softonic no postulan la existencia de $\varprojlim G D$; esto es lo que vamos a probar.

Así que supongamos que tenemos un cono $\mu_i : X \to G D_i$$\mathcal{C}$. Esto produce un cono de hom-conjuntos $$(\mu_i)_* : \mathcal{C}(A, X) \to \mathcal{C}(A, G D_i)$$ y desde $\varprojlim \mathcal{C}(A, G D_i) \cong \mathcal{C}(A, G(\varprojlim D))$ naturalmente en $A$ (por el argumento citado), por el Yoneda lema se deduce que no hay una única transformación natural $\varphi_* : \mathcal{C}(-, X) \Rightarrow \mathcal{C}(-, G(\varprojlim D))$ tal que $$(\mu_i)_* = (G \lambda_i)_* \circ \varphi_*$$ donde $\varphi_*$ proviene de un morfismos $\varphi : X \to G(\varprojlim D)$. Por lo tanto $G \lambda_i : G(\varprojlim D) \to G D_i$ es de hecho una limitación de cono.

Answer 2

Esto es esencialmente tomada de la prueba de la Proposición 2.4.5 p. 36 en estas notas por Pierre Schapira.

Me deja usar la abreviatura $$ L:=\lim_{\underset{i}{\longleftarrow}}\quad. $$

Deje $C$ $D$ categorías, vamos a $b:I^{op}\to C$, $i\mapsto b_i$, ser un proyectiva sistema, vamos a $Lb$ ser su límite (asumimos que existe), vamos a $F:C\to D$ ser un functor, vamos a $G:D\to C$ ser su izquierda adjoint (asumimos que existe), y deje $y$ ser un objeto de $D$.

Tenemos los siguientes desplazamientos de los cuadrados de morfismos y isomorphisms, donde las flechas verticales son inducidos por la $i$ th canónica de las proyecciones: $$ \begin{matrix} D(y,FLb)&\simeq&C(Gy,Lb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ D(y,Fb_i)&\simeq&C(Gy,b_i), \end{de la matriz} $$

$$ \begin{matrix} C(Gy,Lb)&\simeq&LC(Gy,b)\\ \downarrow&&\downarrow\\ C(Gy,b_i)&=&C(Gy,b_i), \end{de la matriz} $$

$$ \begin{matrix} LC(Gy,b)&\simeq&LD(y,Fb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ C(Gy,b_i)&\simeq&D(y,Fb_i), \end{de la matriz} $$

$$ \begin{matrix} LD(y,Fb)&\simeq&D(y,LFb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ D(y,Fb_i)&=&D(y,Fb_i). \end{de la matriz} $$ Por el empalme de estas plazas, obtenemos los siguientes desplazamientos de la plaza de morfismos y isomorphisms: $$ \begin{matrix} D(y,FLb)&\simeq&D(y,LFb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ D(y,Fb_i)&=&D(y,Fb_i), \end{de la matriz} $$ que es lo que queríamos.

EDICIÓN de A. Vamos a volver a la primera plaza: $$ \begin{matrix} D(y,FLb)&\simeq&C(Gy,Lb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ D(y,Fb_i)&\simeq&C(Gy,b_i). \end{de la matriz} $$ El isomorphisms están dadas por la contigüidad. Si $p_i:Lb\to b_i$ indica el $i$ th canónica de proyección, la primera flecha hacia abajo es $D(y,Fp_i)$, y el segundo es $C(Gy,p_i)$. Para demostrar que el cuadrado de desplazamientos, sólo necesitamos invocar el hecho de que la contigüidad es functorial en la segunda variable.

Ahora, para la segunda plaza: $$ \begin{matrix} C(Gy,Lb)&\simeq&LC(Gy,b)\\ \downarrow&&\downarrow\\ C(Gy,b_i)&=&C(Gy,b_i). \end{de la matriz} $$ Por supuesto, hemos elegido una representación de objeto $Lb$ y un isomorfismo $$ C(x,Lb)\simeq LC(x,b) $$ functorial en $x\in\text{Ob}(C)$. Tenemos una natural mapa de $LC(x,b)$ $C(x,b_i)$- - - debido a $LC(x,b)$ es un proyectiva límite de conjuntos. Entonces podemos definir el mapa de $C(x,Lb)$ $C(x,b_i)$como el que hace el cuadro de arriba y conmutativa. Todo esto se functorial en $x$, el Yoneda Lema de los rendimientos de los morfismos $p_i:Lb\to b_i$ utilizado anteriormente.

EDITAR B. La tercera y cuarta plazas son manejados de manera similar. Así nos encontramos con la plaza de $$ \begin{matrix} D(y,FLb)&\simeq&D(y,LFb)\\ \downarrow&&\downarrow\\ D(y,Fb_i)&=&D(y,Fb_i), \end{de la matriz} $$ que los viajes para todos los $i$. Lo que queremos demostrar es la existencia de un isomorfismo $FLb\simeq LFb$ tales que el cuadrado $$ \begin{matrix} FLb&\simeq&LFb\\ \downarrow&&\downarrow\\ Fb_i&=&Fb_i \end{de la matriz} $$ viajes para todos los $i$. Pero, en vista de Yoneda, en el cuadro de arriba desplazamientos debido a que la anterior.

EDICIÓN de C. redacción Alternativa de la maricón que $$ \begin{matrix} C(x,Lb)&\simeq&LC(x,b)\\ \downarrow&&\downarrow\\ C(x,b_i)&=&C(x,b_i) \end{de la matriz} $$ desplazamientos:

Una de morfismos $f\in C(x,Lb)$ es administrado por una familia $f_\bullet=(f_j)_{j\in I}\in LC(x,b)$ la satisfacción de las evidentes condiciones de compatibilidad, y tenemos $f_j=p_j\circ f$ todos los $j$. Por eso, $f$ $f_\bullet$ corresponden en virtud del isomorfismo en el cuadro de arriba. Por otra parte, la primera flecha vertical de mapas de $f$$f_i$, y la segunda flecha vertical de mapas de $f_\bullet$$f_i$.

Answer 3

Awodey a veces de la mano de ondas de sus pruebas, especialmente aquellos en los cuales usted tiene que conseguir sus manos sucias, por ejemplo, su prueba de que cada presheaf es un colimit de representables.

De todos modos, en este caso, la aplicación de Yoneda es una exageración, porque no es más difícil de demostrar RAPL sólo por el uso de adjointness:

Supongamos $\left \langle L,\lambda _{i} \right \rangle$ es un límite de cono a $D$. A continuación, $\left \langle GL,G\lambda _{i} \right \rangle$ es un cono a $GD$. Supongamos $\left \langle X,\mu _{i} \right \rangle$ es un cono a $GD$. Luego de tomar adjoints, obtenemos un cono de a $D$, es decir, $\left \langle FX,\mu _{i}^{*}\right \rangle$. Desde $\left \langle L,\lambda _{i} \right \rangle$ es un límite de cono, obtenemos una flecha $\phi ^{*}:FX\rightarrow L$ exclusivo con la propiedad de que $\lambda _{i}\circ \phi ^{*}=\mu ^{*}_{i}$. Tomando adjoints de nuevo, es fácil ver que $\phi :X\rightarrow GL$ es la única flecha indicando los datos necesarios en el triángulo de viaje, para

si escribimos \begin{array}{ccc} \hom( X,GL) & \rightarrow & \hom (FX,L) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hom(X,GD _{i}) & \rightarrow & \hom(FX,D_{1} ) \end{array} y siga $\phi $ alrededor de la plaza, podemos ver que $\lambda _{i}\circ \phi ^{*} =(G\lambda _{i}\circ \phi )^{*}$. Pero LHS de que esto es sólo $\mu ^{*}_{i}$, por lo que el $G\lambda _{i}\circ \phi =\mu_{i} $ $\phi $ es único debido a $\phi ^{*}$ es.

Answer 4

Yo diría que estás complicar el problema. Se ha postulado que estos mapas $\beta_i$...¿dónde están viniendo? Mejor es mostrar simplemente que si $(X, \mu_i)$ es un límite de un diagrama de $H:I \to C$, e $\phi: Y \xrightarrow{\sim} X$, $\phi^{-1}: (X, \mu_i) \xrightarrow{\sim} (Y, \mu_i \circ \phi)$ es un isomorfismo de los conos (más aún, uno puede demostrar que no es el único isomorfismo $(X, \mu_i) \to (Y, \mu_i \circ \phi)$, desde un isomorfismo donde uno de los objetos es la final es un único isomorfismo, y $(X, \mu_i)$ es la final en la categoría de los conos en $H$). Ahora morfismos de conos $(Z, \nu_i) \to (X, \mu_i)$ están en bijection con morfismos de conos $(Z, \nu_i) \to (Y, \mu_i \circ \phi)$. Por lo $Y$ es un límite.