Valor umbral finito para la unión de dos cuerpos

Question

En su libro Introducción a la superconductividad Segunda edición, capítulo 3.1, cuando se habla de Cooper 1956 papel y la formación de pares de Cooper, Tinkham afirma

[...] es bien sabido que la unión no se produce normalmente en el problema de dos cuerpos en tres dimensiones hasta que la fuerza del potencial supera un valor umbral finito.

Me cuesta entender qué quiso decir el autor.

Por ejemplo, el átomo de hidrógeno. Si reescalamos la fuerza potencial por una cantidad positiva $\lambda$ : $U(r)\rightarrow\lambda U(r)$ entonces los niveles de energía sólo se reescalarán según $E_n \rightarrow \lambda E_n$ . Esto significa que todavía habrá niveles limitados para cualquier $\lambda$ por muy pequeño que sea.

• ¿Qué quiso decir el autor, entonces? ¿Se refería estrictamente a pares de partículas idénticas? ¿Tiene algo que ver con la aproximación de Cooper del potencial atractivo como una constante?

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La respuesta de @KevinKostlan a continuación es muy esclarecedora. Sin embargo, como se indica en la recompensa, todavía estoy buscando una fuente concreta sobre el tema.

Answer 1

Se refiere a las interacciones de corto alcance que disminuyen mucho más que la ley de la inversa del cuadrado .

La partícula estándar en una caja tiene una longitud L y una profundidad infinita. Pero para las cajas 3D con "profundidad" finita $E_{box}$ no siempre tenemos estados vinculados. ¿Por qué?

La respuesta estrictamente matemática es "no hay eigensoluciones con energía < $E_{box}$ ". Pero esto también se puede ver desde un argumento de escala:

Se necesita energía para confinar una partícula para que quepa mayormente en una región. El orden de magnitud del coste energético es $E_{confine}$ ~ $\frac {h^2} {2m\lambda^2}$ en cualquier dimensión , donde $\lambda$ es el tamaño en el que más de la partícula se encuentra. Esto se equilibra con la cantidad de la partícula que está realmente en la caja y la profundidad de la caja: $E_{bind}$ ~ $E_{box}min(1,L/\lambda^{D})$ donde D es la dimensión. En tres dimensiones, la duplicación $\lambda$ equivale a extender la función de onda y la correspondiente distribución de probabilidad en los tres ejes. En 1D, siempre habrá estados ligados. En 2D, no está claro que bajo esta cruda ley de escalado haya siempre estados ligados. Sin embargo, en 3D, si la caja es demasiado pequeña o poco profunda, no se pueden encontrar estados límite porque $E_{bind}$ se reduce demasiado rápido, ya que $\lambda$ aumenta.

Para los átomos, el pozo de potencial es lineal inverso (cuadrado inverso fuerza ) en lugar de una caja fija. Esto hace que la ley de escala $E_{bind}$ ~ $Z/\lambda$ y garantiza los estados ligados por muy débiles que sean las fuerzas de ligazón. Sin embargo, para otros sistemas podemos tener caídas más bruscas. Para dos átomos de helio son atraídos por una interacción de Van der Waals extremadamente débil que también disminuye muy rápidamente . En este caso los estados ligados sólo existen si los dos átomos son ambos Átomos de helio-4. El caso de las interacciones entre electrones en una red es igualmente de corto alcance.