Cómo trazar $\frac{2x-4}{1+x^2}$

Question

¿Puede alguien sugerirme cómo trazar esta función (sin ningún software)?

$$\frac{2x-4}{1+x^2}$$

He descubierto puntos como:

1. $(0,-4)$ et $(2,0)$
2. Sé que $y = 0$ es la asíntota horizontal (cuando $x \rightarrow\pm\infty$ )
3. También he encontrado puntos extremos y estos son $(x=2\pm\sqrt(5))$
4. Y algunas otras cosas, pero no estoy seguro de cómo dibujar una trama

Answer 1

Aquí di un método sin Cálculo .

Dejemos que $$y=\frac{2(x-2)}{(x^2+1)}.$$ Tenga en cuenta que $$\lim_{x\to\pm\infty}y=0$$ $y$ sólo tiene un cero $x=2$ et $$y\ge 0\iff x\ge 2.$$ También $$yx^2-2x+(y+4)=0$$ Dado que sólo consideramos reales $x$ valores discriminante de esta ecuación es no negativo. $$\Delta_x=2^2-4y(y+4)\ge 0$$ $$y^2+4y-1\le 0$$ $$(y+2)^2-5\le 0.$$ Por lo tanto, $y$ está siempre en el rango $$-2-\sqrt5\le y\le -2+\sqrt5.$$ Encuentre $x$ valores correspondientes a $y=-2\pm\sqrt5.$
Ahora puedes dibujar la gráfica de tu función usando estos detalles. tu gráfica se verá como

Answer 2

Encontrar puntos de inflexión $ y^{''} =0 $ con pendientes tangentes $y^{'}$ Los puntos máximos/mínimos y las asíntotas por el procedimiento estándar (dividir por $ x^2, x\rightarrow \infty $ etc. ), encontrar las coordenadas de los puntos para $ y=0, x=0, $ uniéndolos con una curva suave. Conectar la curva en algunos puntos entre estos puntos calculados a mano.