Dejemos que $X$ sea el subconjunto de $\Bbb{R}^\omega$ todas las secuencias $y = (y_i)$ para lo cual $\sum y_i^2 < \infty$ . Entonces $d(x,y) = \left[ \sum_{i=1}^\infty (x_i-y_i)^2 \right]^{1/2}$ define una métrica en $X$ y la topología inducida por ella se denomina $\ell^2$ topología. Sea $\Bbb{R}^\infty$ sea el conjunto de todas las secuencias que eventualmente son cero, que obviamente está contenido en $X$ . Demostrar que el para topologías $\Bbb{R}^\infty$ hereda como un subespacio de $X$ son todos distintos.
Estoy trabajando en demostrar que las dos últimas topologías, la caja y $\ell^2$ topologías, son distintas. Aquí está mi trabajo de raspado. A modo de contradicción, supongamos que no son distintas; y dejemos que $0$ denotan la secuencia cero. Entonces $\prod (-\frac{1}{i},\frac{1}{i})$ es algún nhbd abierto de $0$ que está abierto en la topología de caja, lo que significa que existe un $\delta > 0$ tal que $B(0,\delta) \subseteq \prod (-\frac{1}{i},\frac{1}{i})$ . En primer lugar, imaginemos que todos estos conjuntos abiertos se cruzan con $\Bbb{R}^\infty$ (No tengo ganas de escribirlo). Así que, obviamente, el objetivo es construir un punto $y=(y_i)$ que está en $B(0, \delta)$ pero no en $\prod (-\frac{1}{i},\frac{1}{i})$ o que $\sqrt{\sum y_i^2} < \delta$ pero $|y_n| \ge \frac{1}{n}$ para algunos $n \in \Bbb{N}$ . La suma será finita, ya que $y \in \Bbb{R}^\infty$ (es decir, infinitos términos son cero). Para simplificar, dejemos que el primer $n^2$ sean distintos de cero, donde $n$ está por determinar. De nuevo, para simplificar, dejemos que estos $n^2$ los términos no nulos sean los mismos, lo que está por determinar. Entonces $\sqrt{\sum y_i^2} < \delta$ se convierte en $ny_1 < \delta$ donde todos los términos no nulos son iguales a $y_1$ que está por determinar.
Me imaginé que elegir $n$ et $y$ para satisfacer la desigualdad funcionaría, pero no está claro que lo haga. Pensé que al elegir el mismo número $y_1$ , superaría "eventualmente" $\frac{1}{i}$ . Pero no está claro que esto ocurra, ya que cuanto más tiempo haga esa suma, menor será $y$ tendrá que ser, lo que significa que "tarda" más en superar $\frac{1}{i}$ . Pero si tarda "demasiado", podría quedarse sin términos no nulos y entonces no tendría de hecho un punto $y$ que no está en $\prod (-\frac{1}{i},\frac{1}{i})$ .
Me vendría bien la ayuda para construir un punto $y$ .
