Calcular distribuciones a partir de un vector aleatorio

Question

Dejemos que $(X,Y)$ sea un vector aleatorio con $X,Y$ Norma normal, independiente y $f_{x,y}(x,y) = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ . Calcule la distribución de $X^2+Y^2$ et $arctan(\frac{Y}{X})$

No sé cómo enfocar este ejercicio. He calculado los marginales de $X$ et $Y$ pero no sé a dónde ir desde aquí. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La magnitud

Dejemos que $Z = X^2 + Y^2$ $$F_Z(z)= Pr(Z < z) = \iint_D \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy.$$ Haciendo las coordenadas polares habituales ( $x = r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$ ) el cambio de variable da: $$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$$ lo que da como resultado (teniendo en cuenta que $X^2 + Y^2 < z$ dará $r < \sqrt{z}$ y ninguna restricción sobre $\theta$ ) $$F_Z(z) = \int_0^{2\pi}\frac{1}{2\pi}\left(\int_0^{\sqrt{z}}re^{-r^2/2}\,dr \right)\,d\theta = \frac{1}{2}e^{-\frac{z}{2}}$$ La anterior es la FCD de una distribución exponencial con parámetro $\lambda = \frac{1}{2}$ .

La fase

Dejemos que $\alpha= \arctan \frac{Y}{X}$ Calculemos $$F_{\alpha}(\alpha)=\iint_D \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy.$$ Haciendo el habitual cambio de variable en coordenadas polares da: $$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$$ lo que da como resultado (teniendo en cuenta que $\arctan \frac{y}{x} < \alpha$ dará $\theta < \alpha$ y ninguna restricción sobre $r$ esta vez) $$F_{\alpha}(\alpha) = \int_0^{\alpha}\frac{1}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}re^{-r^2/2}\,dr \right)\,d\theta = \frac{1}{2}e^{-\frac{z}{2}} = \frac{\alpha}{2 \pi}$$ que es una FCD de una distribución uniforme sobre $[0,2\pi]$ .