Dada una matriz hermitiana $A$ , demuestre que $(A-iI)$ es no singular

Question

El ejercicio consiste en demostrar que, dado $A$ una matriz hermitiana, entonces $(A-iI)$ es no singular. Traté de pensar en lo que significa ser no singular, como $(A-iI)X=0$ no sólo tiene la solución trivial, sino que es incapaz de demostrarla de ninguna manera.

Answer 1

Pista: La matriz $A-i I$ es singular si $i$ es un valor singular de $A$ . Ahora, el teorema espectral nos dice que todos los valores singulares de una matriz hermitiana son...

Answer 2

Desde

$A = A^\dagger, \tag 1$

existe una matriz unitaria $U$ ,

$UU^\dagger = U^\dagger U = I, \tag 2$

tal que

$UAU^\dagger = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n), \tag 3$

donde el $\lambda_i$ son los valores propios de $A$ ; por supuesto (1) implica que

$\lambda_i \in \Bbb R, \; 1 \le i \le n, \tag 4$

como es bien sabido.

De ello se desprende que

$U(A - iI)U^\dagger = UAU^\dagger - i UIU^\dagger = UAU^\dagger - iI$ $= \text{diag}(\lambda_1 - i, \lambda_2 - i, \ldots, \lambda_n - i); \tag 5$

desde el $\lambda_i$ son reales,

$\lambda_i - i \ne 0, \; 1 \le i \le n; \tag 6$

por lo que la matriz $U(A - iI)U^\dagger$ es no singular, por lo que también lo es

$A - iI = U^\dagger \text{diag}(\lambda_1 - i, \lambda_2 - i, \ldots, \lambda_n - i) U. \tag 7$

$OE\Delta.$