Conjunto cerrado/puntos interiores

Question

Definir $A=\{(x,y)\,|\,x^2 \leq y \leq x\} \subset \mathbb{R}^2.$

Cómo demostrar que este subconjunto es un conjunto cerrado en $\mathbb{R^2}?$ Además, ¿cómo encontrar los puntos interiores?

Para demostrar que $A$ es un subconjunto que probé:

Dejemos que $((x_n,y_n))_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia con $(x_n,y_n) \to (x,y)$ en $\mathbb{R^2}$ para $n \to \infty.$

Entonces es $x_n \to x, \ y_n \to y$ en $\mathbb{R}$ para $n \to \infty.$

Desde $(x_n)^2 \leq y_n \leq x_n$ es $x^2 = \left(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right)^{\!2} \leq \lim\limits_{n\to\infty}y_n = y \leq \lim\limits_{n\to\infty}x_n=x$

$\implies (x^2,x,y) \in A$ y esta es la razón $A$ es un conjunto cerrado. ¿Funciona?

Para los puntos interiores no conozco un método para encontrarlos. Pero como $A^{\mathrm{o}}:=A$ \ $\partial A,$ Tengo

$A^{\mathrm{o}} = \{(x,y)\,|\,x^2 \leq y <x\}.$

Answer 1

Su argumento para demostrar que está cerrado es correcto.

Para el interior, sabemos que cualquier punto interior tiene alguna bola a su alrededor que está totalmente contenida en $A$ . Esto sólo puede ocurrir cuando ese punto no es un límite de una secuencia en el complemento de $A$ Así que $(x_n)^2 > y_n$ o $y_n > x_n$ tendrá un límite que satisfaga $x^2 \geq y$ o $y\geq x$ lo que significa que $$A^\circ=\{(x,y)|x^2 < y <x\}.$$

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Para su conjetura, puede observar que $\partial A=\{(x,y)|x^2 = y \text{ or } y=x\}$ así que te olvidaste de una parte del límite.