No todos los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ es el soporte de una función continua

Question

Vi una pregunta en un examen de análisis en la que se preguntaba si todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ es el soporte de una función continua de valor real. La solución que se aportó señalaba que un contraejemplo era el conjunto ternario de Cantor. Pensé que un solo punto serviría como contraejemplo, pero dada la solución que vi ahora estoy dudando de mi solución.

El conjunto $\{a\}$ es compacto para cualquier $a\in\mathbb{R}$ . Supongamos que existe $f\in C(\mathbb{R}$ ) tal que $\operatorname{supp}f=\{a\}$ . Entonces $f\equiv0$ en el exterior $\{a\}$ . La continuidad requiere que $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0;$ pero esto es una contradicción, ya que esto implicaría que $f$ es idéntico a cero y por lo tanto $\operatorname{supp}f=\varnothing$ .

¿Hay algún fallo en este argumento?

Answer 1

Su solución está bien. Una función continua que desaparece en un subconjunto denso de su dominio desaparece en todas partes, y de hecho $\mathbb{R}\setminus \{a\}$ es denso en $\mathbb{R}$ .