Vi una pregunta en un examen de análisis en la que se preguntaba si todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ es el soporte de una función continua de valor real. La solución que se aportó señalaba que un contraejemplo era el conjunto ternario de Cantor. Pensé que un solo punto serviría como contraejemplo, pero dada la solución que vi ahora estoy dudando de mi solución.
El conjunto $\{a\}$ es compacto para cualquier $a\in\mathbb{R}$ . Supongamos que existe $f\in C(\mathbb{R}$ ) tal que $\operatorname{supp}f=\{a\}$ . Entonces $f\equiv0$ en el exterior $\{a\}$ . La continuidad requiere que $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0;$ pero esto es una contradicción, ya que esto implicaría que $f$ es idéntico a cero y por lo tanto $\operatorname{supp}f=\varnothing$ .
¿Hay algún fallo en este argumento?
