No he podido encontrar una buena fuente para esto. Se agradece cualquier ayuda.
Definición: 
Gracias por su ayuda, ¿Puede por favor también ayudar con la prueba. Estoy realmente luchando con ella.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
M.U.
Puntos
834
Un homomorfismo de grupo $f \colon G \to H$ entre dos grupos generados finitamente $G$ y $H$ es una cuasi-isometría si y sólo si $ker(f)$ es finito y $im(f)$ tiene un índice finito en $H$ . La prueba es probablemente un buen ejercicio (pero no demasiado difícil después de todo).
Esto da una caracterización que depende del morfismo $f$ en cuestión.
La caracterización que has escrito hace pas implican el morfismo $f$ . Tomemos, por ejemplo, dos grupos infinitos finitamente generados virtualmente isomorfos como usted escribió y dejemos que $f$ sea el morfismo trivial. Entonces los grupos son claramente cuasi-isométricos pero $f$ no es ciertamente una cuasi-isometría.
He probado todo tipo de cosas. Sé que ker(f) es subnormal grupo de G. Im(f) es subgrupo de H. Estoy teniendo problemas tratando de mostrar la igualdad cuasi isométrica, ya que no sé lo que la métrica es..
La métrica con la que se trabaja es la denominada palabra-métrica con respecto a un grupo electrógeno. Escribe la definición completa de $(c,b)$ -cuasi isometría y deberías ver fácilmente por qué el núcleo y el índice $[im(f):H]$ es finito.
