No pude encontrar una buena fuente para esto. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!
Definición: 
Gracias por tu ayuda, ¿Puedes por favor también ayudar con la prueba? Realmente estoy teniendo dificultades con ella.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
M.U.
Puntos
834
Un homomorfismo de grupos $f \colon G \to H$ entre dos grupos finitamente generados $G$ y $H$ es una cuasi-isometría si y solo si $ker(f)$ es finito y $im(f)$ tiene índice finito en $H$. La demostración es probablemente un buen ejercicio (pero después de todo no demasiado difícil).
Esto proporciona una caracterización que depende del morfismo $f$ en cuestión.
La caracterización que escribiste no involucra al morfismo $f$. Toma por ejemplo dos grupos isomórficos virtualmente infinitos y finitamente generados como escribiste, y deja que $f$ sea el morfismo trivial. Entonces los grupos son claramente cuasi-isométricos pero $f$ ciertamente no es una cuasi-isometría.
He intentado todo tipo de cosas. Sé que ker(f) es un subgrupo subnormal de G. Im(f) es un subgrupo de H. Estoy teniendo problemas tratando de demostrar la igualdad cuasi isométrica, ya que no sé cuál es la métrica.
La métrica con la que estás trabajando es la llamada word-métrica con respecto a un conjunto generador. Escribe la definición completa de una cuasi-isometría $(c,b)$ y verás fácilmente por qué el núcleo y el índice $[im(f):H]$ son finitos.
