Demuestra que: si $$lim_{n\to\infty} \ \frac{a_n}{n} = a>0 \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ entonces $$lim_{n\to\infty} \ a_n = \infty \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
Mi prueba: Usando una definición de límite, (1) resulta: $$\forall\epsilon>0 \ \ \exists N \ \ \forall n>N \ \ \left|\frac{a_n}{n} - a\right|<\epsilon$$ lo que equivale a: $$\forall\epsilon>0 \ \ \exists N \ \ \forall n>N \ \ n(a-\epsilon)<a_n<n(a+\epsilon) \ \ \ \ \ \ \ (3)$$ Para demostrar (2) tenemos que demostrar que $$\forall M \ \ \exists N \ \ \forall n>N \ \ a_n>M \ \ \ \ \ \ \ (4)$$ Por lo tanto, dejemos que $M$ sea cualquier número real positivo. Entonces tomemos $N=\frac{M}{a-\epsilon}$ . De (3) sabemos que $a_n>n(a-\epsilon)>N(a-\epsilon)=M.$ Así que, efectivamente, (4) se mantiene.
¿Esta prueba es correcta?
Editar:
Ok, he vuelto a pensar en esto y creo que la prueba anterior es efectivamente errónea. Así que vamos a hacer un segundo intento:
Utilizando una definición de límite, (1) da como resultado: $$\forall\epsilon>0 \ \ \exists N \ \ \forall n>N \ \ \left|\frac{a_n}{n} - a\right|<\epsilon$$ lo que equivale a: $$\forall\epsilon>0 \ \ \exists N \ \ \forall n>N \ \ n(a-\epsilon)<a_n<n(a+\epsilon) \ \ \ \ \ \ \ (3)$$ Para demostrar (2) tenemos que demostrar que $$\forall M \ \ \exists \tilde{N} \ \ \forall n>\tilde{N} \ \ a_n>M \ \ \ \ \ \ \ (4)$$ Por lo tanto, dejemos que $M$ y $\epsilon$ sean cualesquiera números reales positivos.
De (3) sabemos que existe $N$ s.t. $\forall n>N \ \ a_n>n(a-\epsilon)$ .
Ahora tomemos $\tilde{N}=max\left(N,\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil\right)$ . Demostraremos que $\forall n>\tilde{N} \ \ a_n>M$ .
Ahora tenemos dos casos: $N\geq\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil$ o $N<\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil$ .
Consideremos el primer caso. Tenemos de (3)
$$\forall n>\tilde{N}=N \ \ a_n>n(a-\epsilon)>N(a-\epsilon)\geq \lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil(a-\epsilon)\geq M$$
Consideremos ahora el segundo caso. Porque $\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil>N$ se deduce de (3) que
$$\forall n>\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil \ \ a_n>n(a-\epsilon)>\lceil\frac{M}{a-\epsilon}\rceil(a-\epsilon)=M$$
