Infimo de funciones semicontinuas inferiores

Question

La siguiente proposición es del libro Nicolae Dinculeanu Integration on Locally Compact Spaces:

Dejemos que $H$ y $K$ sean dos espacios Hausdorff compactos y $\alpha$ una cartografía continua de $H$ en $K$ . Si $h\geq 0$ es una función semicontinua inferior en $H$ entonces la función $g(s)=\inf_{\alpha(t)=s}h(t)$ es semicontinuo inferior en $K$ .

Si $\alpha$ es uno a uno, entonces no es tan difícil demostrar esta proposición, pero $\alpha$ aquí no es necesario uno a uno, ¿alguien puede sugerir una prueba?

La siguiente prueba es del autor, el texto en negrita es donde me confundo, ¿el autor hace la relación de cociente para que podamos cambiar el $\alpha$ para ser uno a uno? Y parece que la condición de que $h\geq 0$ es redundante en la siguiente prueba.

Observamos en primer lugar que para cada punto $s\in K$ existe un punto $t_{s}\in H$ tal que $\alpha(t_{s})=s$ y $g(s)=h(t_{s})$ . De hecho, $\{s\}$ es un conjunto cerrado en $K$ y $\alpha$ es continua en $H$ Por lo tanto $\alpha^{-1}(s)$ está cerrado en $H$ y, por tanto, compacto. Dado que $h$ es semicontinuo inferior y $\alpha^{-1}(s)$ es compacto, existe un punto $t_{s}\in \alpha^{-1}(s)$ tal que $h(t_{s})=\inf_{\alpha(t)=s}h(t)$ Por lo tanto $g(s)=h(t_{s})$ .

Dejemos ahora $a$ sea un número real arbitrario y demuestre que el conjunto $A=\{s\in K: g(s)>a\}$ está abierto. De ello se desprende que $g$ es semicontinuo inferior. Sea $s_{0}\in A$ . Tenemos $g(s_{0})>a$ Por lo tanto $h(t)>a$ por cada $t\in\alpha^{-1}(s_{0})$ . Desde $h$ es semicontinuo inferior, existe una vecindad $V$ de $\alpha^{-1}(s_{0})$ tal que $h(t)>a$ por cada $t\in V$ .

Además, podemos considerar el conjunto $V$ saturado para la relación de equivalencia $\alpha(t)=\alpha(t')$ . Entonces $\alpha(V)$ es una vecindad de $s_{0}$ .

Por cada $s\in\alpha(V)$ existe $t\in\alpha^{-1}(s)$ tal que $h(t)=g(s)$ . Por lo tanto, tenemos $g(s)>a$ por cada $s\in\alpha(V)$ Por lo tanto $A$ está abierto.

Answer 1

He buscado varios puestos, y creo que lo siguiente debería ser una prueba correcta.

Para demostrar que $g$ es semicontinuo inferior, basta con demostrar que $B=\{k\in K: g(k)\leq a\}$ es cerrado para cada número real $a$ . Ahora dejemos que $(s_{\delta})$ sea una red en $B$ tal que $s_{\delta}\rightarrow s$ para algunos $s\in K$ . Tenemos que demostrar que $s\in K$ . Para ello, podemos encontrar una red correspondiente $(t_{\delta})$ tal que $\alpha(t_{\delta})=s_{\delta}$ y $g(s_{\delta})=h(t_{\delta})$ . Desde $H$ es compacto, existe alguna subred convergente $(t_{\delta_{\eta}})$ de $(t_{\delta})$ tal que $t_{\delta_{\eta}}\rightarrow t$ para algunos $t\in H$ . Desde $h$ es semicontinuo inferior y $h(t_{\delta_{\eta}})\leq a$ deducimos que $h(t)\leq a$ . Por otro lado, como $\alpha$ es continua, tenemos $\alpha(t_{\delta_{\eta}})\rightarrow\alpha(t)$ . Desde $K$ es Hausdorff, tenemos $\alpha(t)=s$ Así que $g(s)\leq h(t)\leq a$ .