Una condición de densidad para los espacios métricos

Question

He encontrado la siguiente propiedad. ¿Puede alguien decirme si ya existe en la literatura y/o si es equivalente/similar a otras propiedades conocidas?

La propiedad: $(X,d)$ espacio métrico. Para cualquier bola abierta $B\subseteq X$ y para cualquier $x,y\in B$ existen dos bolas abiertas disjuntas $B_1\ni x$ y $B_2\ni y$ y dos funciones abiertas continuas e inyectivas $f_i:B\rightarrow X$ tal que $f_i(B)\subseteq B_i$ .

Bueno .. es similar a la contractibilidad, pero parece ser más débil - es una condición de densidad..

Answer 1

Un mapa inyectivo continuo abierto también puede describirse como un homeomorfismo con un subconjunto abierto. La propiedad indicada es obviamente equivalente a: todo conjunto abierto en toda bola abierta $B$ en $X$ contiene un conjunto abierto que es homeomorfo con $B$ . Si la métrica está acotada, $B$ puede ser sustituido por $X$ sin pérdida de generalidad (y así la propiedad se convierte en puramente topológica).

Esta propiedad es una especie de autosimilaridad local (o simplemente autosimilaridad en el caso acotado).

La propiedad no se cumple para los espacios contractibles ni para los localmente contractibles, por ejemplo, ya falla para el intervalo unitario cerrado. Falla incluso "localmente" para el trío, en el sentido de que el vértice del trío no tiene ninguna vecindad que satisfaga la propiedad.